§ 3.5. Условные законы распределения составляющих двумерных дискретных и непрерывных случайных величин

1. Условные законы распределения составляющих двумерных дис­кретных случайных величин.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (X, Y). Пусть возможные значения составляющих х_1, х₂, ..., х_n; у_1, у_2, ...,у_m.

Допустим, что в результате испытания величина Y приняла зна­чение Y=y₁; при этом X примет одно из своих возможных значений: x₁ или x_2, ..., или х_n. Обозначим условную вероятность того, что X примет, например, значение х₁ при условии, что Y=y₁ через p(x₁|y₁). В общем случае условные вероятности составляющей будем обозначать так:

О п р е д е л е н и е. Условным распределением составляющей X при У=у₁ называют совокупность условных вероятностей

^

вычисленных в предположении, что событие Y=y₁ уже наступило.

Так же определяются и условные распределения X при Y=y₂, У=у₃, ..., Y=y_m.

Аналогично определяются условные распределения составляющей Y.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной ве­личины, можно, воспользовавшись формулой

(см. § 1.3, п. 2, формула (1.7)),

получить условные законы распределения составляющих. Так, ус­ловный закон распределения Х в предположении, что событие Y=y₁ уже произошло, может быть найден по формуле

(3.9)

Аналогично находят условные законы распределения состав­ляющей К Например, условный закон распределения У в предпо­ложении, что событие Х=Хг уже произошло, есть

З а м е ч а н и е. Сумма вероятностей условного распределения равна единице. Действительно, например,

Это свойство используют для контроля вычислений.

П р и м е р. Дискретная двумерная случайная величина задана таблицей

x\y	y1	y2
x1	0,10	0,06
x2	0,30	0,18
x3	0,20	0,16

Найдем условный закон распределения составляющей X при усло­вии, что составляющая Y приняла значение y₁.

Р е ш е н и е. Искомый закон определяется совокупностью ус­ловных вероятностей:

Воспользовавшись формулой (3.9) и приняв во внимание данные указанной таблицы (р(х₁,y₁)=0,10, р(х₂,у₁)=0,30, р(х₃,у₁)=0,20) и что р(у₁)=0,60 (§ 3.1, пример), имеем:

2. Условные законы распределения составляющих двумерных не­прерывных случайных величин.

Пусть (X,Y) – непрерывная двумерная случайная величина.

О п р е д е л е н и е. Условной плотностью (х|у)распределения со­ставляющей X при данном значении Y=y называют отношение дву­мерной плотности вероятности f(х,у) к плотности вероятности f₂(у) составляющей Y:

(3.10)

Отличие условной плотности (х|у) от плотности f₁(х) составля­ющей X состоит в том, что функция (х|у) дает распределение X при условии, что составляющая Y приняла значение Y=y; функция же f₁(х) дает распределение X независимо от того, какие из возмож­ных значений приняла составляющая Y.

Аналогично определяется условная плотность составляющей Y при данном значении Х=х:

(3.11)

Формулы (3.10) и (3.11) с учетом формул (3.8') и (3.8) могут быть переписаны и в следующем виде:

Заметим, что, как и всякая плотность, условные плотности об­ладают свойствами:

П р и м е р. Пусть двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью вероятности

Требуется найти условные плотности вероятности составляющих X и Y.

Р е ш е н и е. Ранее (см. § 3.4, пример) были найдены плотности вероятности составляющих X и Y

Поэтому, согласно формулам (3.10) и (3.11), найдем:

и