§ 3.3. Плотность вероятности двумерной случайной величины

1. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.

О п р е д е л е н и е. Плотностью вероятности (плотностью распределения) непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

. (3.2)

Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) представляет собой поверхность в пространстве Оxyz, которую называют п о в е р х н о с т ь ю р а с п р е д е л е н и я.

Плотность вероятности f(x, y) обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной случайной величины.

1. Плотность вероятности двумерной случайной величины неотрицательна:

f(x, y) ≥ 0.

Действительно, разделив обе части равенства (3.1) на площадь прямоугольника ABCD ΔxΔy (Δx = x₂ - x₁, Δy = y₂ - y₁) и дважды воспользовавшись формулой Лагранжа, получим

.

Перейдя здесь к пределу при и , находим

,

откуда и следует свойство 1.

2. Обозначим событие, состоящее в попадании случайной точки (X, Y) в область D, так: . Тогда вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) в область D (аналогично одномерному случаю) равна

. (3.3)

П р и м е р 1. Найдем плотность вероятности f(x, y) случайной величины (X, Y) по известной функции распределения

.

Р е ш е н и е. Имеем

,

.

Отсюда, согласно формуле (3.2),

.

3. . (3.4)

Это свойство следует из того, что интеграл слева в последнем равенстве есть вероятность попадания случайной точки (X, Y) во всю плоскость xOy, т.е. вероятность достоверного события.

П р и м е р 2. Двумерная плотность вероятности двух случайных величин Х, Y

Найдем величину С.

Р е ш е н и е. Согласно формуле (3.3), имеем

Но

и, значит,

откуда

П р и м е р 3. В круге x² + y² ≤ 4 плотность вероятности дву­мерной случайной величины а вне его .

Найдем вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг .

Р е ш е н и е. Согласно формуле (3.3), имеем

Перейдя здесь к полярным координатам, найдем

2. Отыскание функции распределения двумерной случайной величины по известной двумерной плотности вероятности.

Из формулы (3.2) имеем

откуда

Но (см. § 3.2, п. 1)

Следовательно,

(3.5)

П р и м е р. Пусть задана двумерная плотность вероятности слу­чайной величины (X ,Y)

Найдем функцию распределения.

Р е ш е н и е. Согласно формуле (3.5),

§ 3.4. Нахождение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины

Пусть известна двумерная плотность вероятности f(x,y) слу­чайной величины (X,Y). Тогда функция распределения F(x,у) определяется формулой

откуда

(3.6)

С другой стороны (см. § 3.2, п. 1)

(3.7)

где F₁(x) — функция распределения составляющей X. Из равенств (3.6) и (3.7) находим

Отсюда

или

(3.8)

где f₁(x) – плотность вероятности составляющей X.

Аналогично получим формулу для плотности вероятности со­ставляющей Y:

(3.8')

П р и м ер. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плот­ностью распределения

Найдем плотности распределения составляющих X и Y.

Р е ш е н и е. Найдем плотность распределения составляющей X по формуле (3.8)

так как интеграл

(см. приложение 1).

Аналогично используя формулу (3.8'), получим