§ 3.2. Функция распределения двумерной случайной величины

1. Определение функции распределения двумерной случайной величины и ее свойства.

О п р е д е л е н и е. Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) (безразлично, дискретной или непрерывной) называют функцию F(x, y), определяющую для каждой пары действительных чисел x, y вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y:

F(x, y) = P(X< x, Y< y).

y

A(x; y) Геометрически (рис.9) это равенство

представляет собой вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), 0 x расположенной левее и ниже этой

вершины.

П р и м е р. Найдите вероятность того, что в результате испытания составляющая Рис. 9 X двумерной случайной величины (X, Y) примет значение X<4 и при этом составляющая Y примет значение Y<5, если известна функция распределения этой величины.

Р е ш е н и е. Имеем

.

Укажем свойства, которыми обладает функция F (x, y).

1. 0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Это свойство следует из того, что F (x, y) вероятность.

2. F (x, y) – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

F (x₁, y) ≤ F (x₂, y), если x₁ < x₂;

F (x, y₁) ≤ F (x, y₂), если y₁ < y₂.

Свойство становится наглядным, если воспользоваться геометрической интерпретацией функции распределения.

3. Имеют место предельные соотношения:

,

.

Эти соотношения также следуют из геометрической интерпретации функции распределения.

4. При функция распределения системы стремится к функции распределения составляющей X(Y):

;

.

Действительно, при бесконечный квадрант с вершиной в точке А(x, y) превращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения составляющей X(Y).

2. Вероятности попадания случайной точки в полуполосу и прямоугольник.

1. Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу x₁ < X < x₂ и y₁ < Y < y₂ (рис. 10, б).

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (x₂; y₁) вероятность попадания этой точки в квадрант с вершиной (x₁; y₁) (рис. 10, а) получим

P(x₁ ≤ X < x₂, Y < y₁) = F(x₂, y₁) – F(x₁, y₁).

Аналогично

P(X < x₁, y₁ ≤ Y < y₂) = F(x₁, y₂) – F(x₁, y₁).

y y

(x₁, y₁) (x₂, y₁)

y₁

0 x₁ x₂ x 0 x₁ x

а б

Рис. 10

Итак, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

2. Найдем вероятность попадания случайной точки (X; Y) в прямоугольник ABCD (рис. 11).

y A(x₁, y₂) B(x₂, y₂)

y₁ D (x₁; y₁) C(x₂; y₁)

0 x₁ x₂ x

Рис. 11

Для этого из вероятности попадания случайной точки в полуполосу AB с вертикальной штриховкой вычтем вероятность попадания этой точки в полуполосу DC c горизонтальной штриховкой. Получим

P(x₁ ≤ X < x₂, y₁ ≤ Y < y₂) =

= (F(x₂, y₂) – F(x₁, y₂)) – (F(x₂, y₁) – F (x₁, y₁)). (3.1)

П р и м е р. Найдем вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми , , , , если известна функция распределения

.

Р е ш е н и е. В данном примере в выражении (3.1) , , , и, значит,

.