2.8. Закон больших чисел

1.Неравенство Чебышева.

Лемма. Пусть X- случайная величина, принимающая только неотрицательные значения, тогда P(X

Доказательство. Для простоты докажем это утверждение для дискретной величины Х, принимающие случайные значения x ,x при условии x . По теореме сложения вероятностей для несовместимых событий (параграф 1.3,п.1) имеем P(X

Где суммирование распространено на все значения больше или равные единице. Но для, x очевидно, P(X=x )

Поэтому P(X (2.30)

Добавим к правой части неравенства (2.30) сумму где x .Эта сумма неотрицательна ,так как x по условию, а вероятность P(X=x . Поэтому

Коэффициент А найдем, возпользовавшись соотношением (2.17). Так как.

x / + A arctg x/ АП=1,откуда А=1/П.

Применяем формулу (2.16), получим функцию распределения F(x):

F(x)=

Наконец формулы (2.9) и (2.12) с учетом найденного значения функции F(x)дают P(0<X<1)=F(1)-F(0)=0,25.

2.6 Математическое ожидания и дисперсия непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная величина Х задана плотностью вероятностиf(x) . Допустим, что все возможные значения Х принадлежат отрезку[a;b]. Точками x разобьем его на n частичных отрезков, длины которых обозначим через , . Наибольшую из этих длин обозначим через .

Предполагая определить математическое ожидание непрерывной случайной величины по аналогии с дискретной, составим сумму [напомним, что произведение f(x при малых приближенно равно вероятности попадание случайной величины Х в интервал(x см.параграф 2.5, п.2].Перейдя в этой сумме к пределу при получим определенный интеграл который и называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, все возможные значения которой принадлежат отрезку[a;b]: M(X)=

Все возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат всей числовой оси, то математическое ожидание определяется интегралом

M(X)=

При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е интеграл , существует.

При аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется и дисперсия непрерывной случайной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонения .Если все возможные значения Х принадлежат отрезку [a;b], то D(X)=

Если все возможные значения Х принадлежат всей числовой оси, то

D(X)=

при условии, что последний несобственный интеграл не сходится.

Заметим, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Наконец, для непрерывной величины Х среднее квадратическое откланение определяется, как и для дискретной величины, формулой

П р и м е р. Пусть случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.

Согласно формулам (2.18) и (2.19), имеем: M(X)=

D(X)=

И наконец,

2.7 Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1.Равномерное распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, принимающие все свои значения из отрезка [a;b], называются равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е.

Отсюда

Но как известно (см.параграф 2.5, п.2),

Из сравнения равенства (2.20) и (2.21)получаем c=

Итак плотность вероятности непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно на отрезке [a;b],имеет вид

Пример. На отрезке [a;b], наугад указывают точку .Какова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?

Обозначим через Х случайную величину, равную координате выбранной точки. Х распределена равномерно ( в этом и состоит точный смысл слов: «наугад указывают точку»), а так как середина отрезка [a;b],имеет координату , то искомая вероятность равна (см.параграф 2.5, п.2):

P(a<X<

Впрочем, этот результат был ясен с самого начала (см.параграф 1.2, п.1).

2.Нормальный закон распределения. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным законом , или законом Гаусса¹ если ее плотность вероятности есть

f(x)= (2.22)

где и a-постоянная, причем .

Убедимся что функция (2.22)удовлетворяет условию (2.17). Действительно перейдя в интеграле (2.23)

К новой переменной t= (2.24)

Получим интеграл

Но (см.приложение 1).

Следовательно, (2.25)

Значит интеграл (2.23)тоже равен единице.

Последняя сумма распространена на все значения x₁ принимаемые случайной величиной X. Следовательно (см. § 2.2, п. 1),

Отсюда, сопоставляя соотношения (2.30) и (2.31), получаем иско­мое неравенство (2.29).

Теорема. Для любой случайной величины X при каждом поло­жительном числе г имеет место неравенство

(2.32)

Неравенство (2.32) называется неравенством Чебышева*. Доказательство. Так как событие равносиль­но событию

ТО

Случайная величина неотрицательна,и, значит, со­гласно лемме, свойству 2 математического ожидания (§ 2.2, п. 2) и определению дисперсии (§ 2.3, п. 1)

Поэтому

Пример. Пусть случайная величина X имеет D(X)= 0,001. Какова вероятность того, что она отличается от М(Х) более чем на 0,1?

По неравенству Чебышева

Примечание. Отметим другую форму неравенства Чебыше­ва. Так как событие, выражаемое неравенством про­тивоположно событию, выражаемому неравенством , то (§ 1.3, п. 1, следствие 2)

* П. Л. Чебышев (1821 —1894) — выдающийся русский математик. (64)

Отсюда с учетом неравенства (2.32) получаем такую форму нера­венства Чебышева:

(2.33)

2. Закон больших чисел Чебышева. Докажем закон больших чисел в широкой и удобной для практики форме, полученной П.Л. Чебышевым.

Теорема (теорема Чебышева; закон больших чисел). Если дисперсии независимых случайных величин Х_]у Х₂, ..., Х_п ограничены одной и той же постоянной с, D(X₁)≤ с, i= 1, 2, ..., п_,, то каково бы ни было >0, вероятность выполнения неравенства , где

будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин n достаточно велико, т. е.

(2.34)

Доказательство. Применяя неравенство Чебышева (2.33) к величине X, имеем

(2.35)

Пользуясь свойствами дисперсии (§ 2.3, п. 2) и условием теоремы, получим

Отсюда с учетом неравенства (2.35) и того, что вероятность любого события не превосходит единицы (§ 1, п. 3), получим

(2.36)

Наконец, переходя в неравенстве (2.36) к пределу при n→∞ ,при­ходим к искомому соотношению (2.34).

Частный случай теоремы Чебышева. Если все Х_к имеют одинаковое математическое ожидание М(Х₁) = ... = М(Х_n) = а и D(Х_k)<с, k= 1, ..., n, то

(2.37)

Действительно, в условиях рассматриваемого частного случая равенство (2.34) имеет вид (2.37).

Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем. Несмотря на то, что каждая из независимых случайных величин Х_k может принять значение, далекое от математического ожидания М(Х_k), среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью весьма близко к среднему ариф­метическому их математических ожиданий.

Теорема Чебышева имеет громаднейшее практическое значение. Пусть, например, измеряется некоторая физическая величина. Обыч­но принимают в качестве искомого значения измеряемой величины среднее арифметическое результатов нескольких измерений. Мож­но ли считать такой подход верным? Теорема Чебышева (ее част­ный случай) отвечает на этот вопрос положительно.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статис­тике выборочный метод, согласно которому по сравнительно не­большой случайной выборке выносят суждение, касающееся всей совокупности исследуемых объектов. Из теоремы Чебышева (частный случай) следует теорема Бернулли, являющаяся простейшей формой закона больших чисел.

Теорема Бернулли. Пусть m —число наступлений собы­тия А в n независимых испытаниях и p есть вероятность наступле­ния события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было положительное число ,

^(2,38)

Доказательство. Обозначим через X_k случайную величину, равную числу наступлений события А в k-м испытании, где k=1, 2, ..., п. Тогда имеем (§ 2.4, п. 1)

m = Х₁ + Х₂ + ... + Х_n;

и все условия частного случая теоремы Чебышева выполнены. Равенство (2.37) превращается в равенство (2.38).

Практический смысл теоремы Бернулли следующий: при посто­янстве вероятности случайного события А во всех испытаниях при неограниченном возрастании числа испытаний можно с вероятно­стью, сколь угодно близкой к единице (т. е. как угодно близко к достоверности), утверждать, что наблюдаемая относительная час­тота случайного события будет как угодно мало отклоняться от его вероятности.