2. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадра­том ее математического ожидания:

D(X) = М(Х²) - М²(Х).

Действительно, используя свойства математического ожидания, имеем:

D(X) = M [(Х - М(Х))²] = М [Х² - 2ХМ(Х) + М²(Х)] =

= М(Х²) - 2М(Х) • М(Х) + М²(Х) =

= М(Х²) - 2М²(Х) + М²(Х) = М(Х²) - М²(Х).

С помощью этого свойства и свойств математического ожидания устанавливаются и другие свойства.

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю. Действительно,

D(C) = М(С²) - M²(С) = С² - С² = 0.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(C) = С²D(X).

В самом деле,

D(CX) = М(С²X² ) - M²(СX) = С²M(X²) - C²M²(X) =

= С²[M(X²) - M²(X)] = С²D(X).

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и y равна сумме дисперсий этих величин:

D(X + Y) = D(X ) + D(Y).

Действительно,

D(X + Y) = M [(X + Y)²] - М²(Х+ Y) =

= М(X² + 2XY + Y²) - [М(Х) + М(Y)]² = М(Х²) + 2М(Х)М(Y) +

+ М(Y²) - М²(Х) - 2М(Х)М(Y) - М²(Y) =

= [М(Х²) - М²(Х)] + [M(Y²) - M²(Y)] = D(X) + D(Y).

Используя метод математической индукции, это свойство мож­но распространить и на случай любого конечного числа слагаемых.

Следствием свойств 3 и 4 является следующее свойство.

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин X и y равна сумме их дисперсий:

D(X - Y) = D(X ) + D(Y).

П р и м е р 1. Используя свойство 1 дисперсии, найдем диспер­сию случайной величины X, имеющей следующий закон распреде­ления:

X	1	2	3	4	5
р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Находим математические ожидания случайной величины X и ее квадрата:

M(X) = 1 • 0,1 + 2 • 0,2 + 3 • 0,3 + 4 • 0,3 + 5 • 0,1 =

= 0,1 + 0,4 + 0,9 + 1,2 + 0,5 = 3,1;

М(Х²) = 1² • 0,1 + 2² • 0,2 + 3² • 0,3 + 4² • 0,3 + 5² • 0,1 =

= 0,1 + 0,8 + 2,7 + 4,8 + 2,5 = 10,9.

Отсюда в силу свойства 1 дисперсии

D(X) = 10,9 - (3,1)² = 10,9 - 9,61 = 1,29.

П р и м е р 2. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найдем дисперсию следующих величин: а) -3Х; б) 4X + 3.

Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии, имеем:

a) D(-3X) = 9D(X) = 9 • 3 = 27

б) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 • 3 = 48.

П р и м е ч а н и е. Если множество возможных значений дискрет­ной случайной величины X бесконечно, то ее дисперсия определя­ется суммой сходящегося числового ряда

D(X) =

3. Среднее квадратическое отклонение.

О п р е д е л е н и е. Средним квадратическим отклонением (X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дис­персии:

(X) =

Необходимость введения среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеря­ются в метрах, то ее дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рас­сеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое откло­нение.

П р и м е р. Случайная величина X - число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определим o(X). Имеем:

M(X) = l • + 2 • + 3 • + 4 • + 5 • + 6 • = 3,5;

D(X) = (1 - 3,5)² • + (2 - 3,5)² • + (3 - 3,5)² • +

+ (4 - 3,5)² • + (5 - 3,5)² • + (6 - 3,5)² • = 2,92;

(X) = 1,71.