5. Математическое ожидание разности двух случайных величин X и y равно разности их математических ожиданий:

М(Х - Y) = М(Х) - М(Y).

П р и м е ч а н и е 1. Свойства 3 и 4 имеют место для любого конечного числа случайных величин.

П р и м е ч а н и е 2. Если множество возможных значений дис­кретной случайной величины X бесконечно, то математическое ожидание М(Х) определяется суммой числового ряда

М(Х) =

при условии, что этот ряд абсолютно сходится. Перечисленные свойства математического ожидания остаются в силе (см. [2]) и для таких случайных величин.

П р и м е р 1. Найдем математическое ожидание случайной ве­личины Z = X + 2Y, если известны математические ожидания слу­чайных величин Х и Y: М(Х) = 5, М(Y) = 3.

Используя свойства 3 и 2 математического ожидания, получим:

M(Z) = M(X + 2Y) = М(Х) + М(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 • 3 = 11.

П р и м е р 2. Найдем математическое ожидание случайной ве­личины Z = 2X - Y, если заданы математические ожидания случай­ных величин Х и Y: M(X) = 4; M(Y) = 6.

Используя свойства 5 и 2 математического ожидания, получаем:

M(Z) = М(2Х - Y) = М(2Х) - M(Y) = 2M(X ) - M(Y) = 2 • 4 - 6 = 2.

П р и м е р 3. Пусть независимые случайные величины заданы законами распределения:

	X			1			2
	р			0,2			0,8

Y	0,5	1
p	0,3	0,7

Требуется найти математическое ожидание случайной величины XY.

Сначала найдем математические ожидания каждой из данных величин:

M(X) = l • 0,2 + 2 • 0,8 = 1,8;

М(Y) = 0,5 • 0,3 +1 • 0,7 = 0,15 + 0,7 = 0,85.

Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое ма­тематическое ожидание

M(XY) = M(X)M(Y) = 1,8 • 0,85 = 1,53.

§ 2.3. Дисперсия дискретной случайной величины

1. Понятие дисперсии. Математическое ожидание не дает пол­ной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины X и Y своими законами распределения:

	X			-2			0			2
	р			0,4			0,2			0,4

Y	-100	0	100
p	0,3	0,4	0,3

M(X) = -2 • 0,4 + 0 • 0,2 + 2 • 0,4 = 0,0;

М(Y) = -100 • 0,3 + 0 • 0,4 +100 • 0,3 = 0,0.

Несмотря на то, что МО величин Х и Y одинаковы, возможные значения величин X и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих МО (средних значений) по-разному: возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему МО, чем значения величины Y.

Вот еще один пример. При одинаковой средней величине го­довых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая - благоприятной для ведения сельского хозяйства,

Настоятельной является необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно было бы судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина X:

X	x1	x2	...	xn
р	р1	p2	...	pn

O п р е д е л е н и е 1. Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания М(Х) (или просто отклонением случай­ной величины X) называется случайная величина Х - М(Х).

Видно, что для того, чтобы отклонение случайной величины X приняло значение x₁ - М(Х), достаточно, чтобы случайная величи­на X приняла значение x₁. Вероятность же этого события равна р₁; следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной вели­чины X примет значение x₁ - М(Х), также равна р₁. Аналогично об­стоит дело и для остальных возможных значений отклонения слу­чайной величины X. Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины X:

Х - М(Х)	x1 - М(Х)	x2 - М(Х)	...	xn - М(Х)
p	р1	p2	...	pn

Вычислим теперь МО отклонения Х - М(Х). Пользуясь свой­ствами 5 и 1 (§ 2.1, п. 2), получим

М [Х - М(Х)] = М(Х) - М(Х) = 0.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а. Математическое ожидание отклонения Х - М(Х) равно нулю:

М [Х - М(Х)] = 0.

Из теоремы видно, что с помощью отклонения Х - М(Х) не удается определить среднее отклонение возможных значений вели­чины X от ее математического ожидания, т.е. оценить степень рассеяния величины X. Это объясняется взаимным погашением по­ложительных и отрицательных возможных значений отклонения. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматри­вать квадрат отклонения случайной величины X.

Запишем закон распределения случайной величины [Х - М(Х)]² (рассуждения те же, что и в случае случайной величины Х - М(Х)):

[Х - М(Х)]2		[x1 - М(Х)]2	[x2 - М(Х)]2	...	[xn - М(Х)]2
p	р1		p2	...	pn

О п р е д е л е н и е 2. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое отклонение квадрата от­клонения случайной величины X от ее математического отклонения (среднего значения):

D(X) = M [(Х - М(Х)) ²].

Из закона распределения величины [Х - М(Х)]² следует, что

D(X) = [x₁ - М(Х)]²р₁ + [x₂ - М(Х)]²р₂ + ... + [x_n - М(Х)]²р_n.

П р и м е р. Пусть случайная величина X задана своим законом распределения:

X	1	3	6	7	9
Р	0,2	0,2	0,3	0,1	0,2

Найдем D(X).

Имеем:

М(Х) = 1 • 0,2 + 3 • 0,2 + 6 • 0,3 + 7 • 0,1 + 9 • 0,2 = 5,1;

[x₁ - М(Х)]² = [1 - 5,1]² = 16,81;

[x₂ - М(Х)]² = [3 - 5,1]² = 4,41;

[x₃ - М(Х)]² = [6 - 5,1]² = 0,81;

[x₄ - М(Х)]² = [7 - 5,1]² = 3,61;

[x₅ - М(Х)]² = [9 - 5,1]² = 15,21.

аким образом, закон распределения случайной величины [Х - М(Х)]² выразится таблицей:

[Х - М(Х)]2	16,81	4,41	0,81	3,61	15,21
p	0,2	0,2	0,3	0,1	0,2

Отсюда

D(X) = 16,81 • 0,2 + 4,41 • 0,2 + 0,81 • 0,3 + 3,61 • 0,1 + 15,21 • 0,2 = 7,89.