4.6 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

, (4.12)

где , , – const ( ), называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение называется однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: .

Последнее уравнение можно привести к виду

. (4.13)

Уравнение называется характеристическим уравнением для (4.13). В зависимости от корней характеристического уравнения получаем общее решение уравнения (4.13) в виде

Корни характеристического уравнения	Общее решение однородного линейного уравнения
1. –действительные
2.
3. – комплексные

Пример 4.12 Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

, , тогда или , . Так как корни характеристического уравнения действительные различные, то общее решение уравнения: .

Ответ: .

Пример 4.13 Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Составим характеристическое уравнение: , , тогда . Так как корни характеристического уравнения действительные равные, то общее решение уравнения: .

Пример 4.14 Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

, . Тогда , то есть , . Так как корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то общее решение уравнения: .

4.7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Если в уравнении (4.12) , то оно называется неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (4.14)

где – общее решение соответствующего однородного линейного уравнения, – частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения определяется в зависимости от вида функции по следующим правилам:

I.	II.
1).если не является корнем характеристического уравнения, то , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами.	1).если не являются корнями характеристического уравнения, то , где , – многочлены степени с неопределенными коэффициентами
2). если является корнем характеристического уравнения кратности , то	2). если являются корнями характеристического уравнения, то

Напомним, что многочлены степени 0, 1, 2 с неопределенными коэффициентами имеют вид: , , , где , , – неопределенные коэффициенты, которые надо найти.

Пример 4.15 Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Решение данного уравнения представляется в виде . Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения . Выпишем и решим характеристическое уравнение: , , , , . Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: .

Правая часть уравнения относится к типу I (см. таблицу), причём , . Так как является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Тогда

,

.

Подставим , , в исходное уравнение

, .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов , :

.

Находим , . Тогда . Общее решение исходного уравнения: .

Ответ: .

Пример 4.16 Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Решение данного уравнения представляется в виде . Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения

, , , , .

Общее решение однородного дифференциального уравнения: .

Функция относится к типу II (см. таблицу), где , , , .

Так как числа не являются корнями характеристического уравнения, то нужно искать в виде

.

Тогда

, .

Подставляя выражения для , в исходное уравнение, получим

.

Итак, получаем систему уравнений:

Решая данную систему, находим , . Тогда

.

Общее решение исходного уравнения:

.

Ответ: .