4.3 Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Уравнение вида называется линейным, а уравнение (где , ) называется уравнением Бернулли. В обоих случаях общее решение может быть найдено в виде . Выбор функций и поясним на следующих примерах.

Пример 4.5 Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным. Решение ищем в виде .Тогда . Подставляя выражения для и в уравнение получим

или .

Выберем такое частное решение для , чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль. Тогда уравнение примет вид .

Решаем последовательно два уравнения:

а). , , , ,

, отсюда .

б). или ;

значит, , .

Так как , то ответ записываем в виде .

Ответ: .

Пример 4.6 Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным. Будем искать общее решение в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем

, .

Выберем функцию из условия . Найдём частное решение этого уравнения:

, , ,

, , тогда .

Найдём функцию :

, , .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Ответ: .

Пример 4.7 Найти решение задачи Коши

, .

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Будем решать его с помощью подстановки . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем

, .

Функцию найдем из уравнения

, , , ,

, тогда .

Найдём функцию :

, , ,

, , .

Подставляя найденные значения и в , получим общее решение данного уравнения: .

Найдём теперь решение, удовлетворяющее начальному условию . Подставляя в общее решение , , получим . Таким образом, решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , имеет вид: .

Ответ: .

4.4 Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

(4.11)

называется уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие , т.е. левая часть (4.11) представляет собой полный дифференциал некоторой функции . Эту функцию можно найти, решив систему

Так как, в силу (4.11) , то общий интеграл уравнения равен .

Пример 4.8 Решить уравнение

.

Решение. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах:

, . Итак, .

Запишем систему уравнений

Проинтегрируем первое уравнение системы

.

Продифференцируем полученную функцию по переменной и сравним со вторым уравнением системы:

,

, .

Таким образом, .

Поэтому общий интеграл дифференциального уравнения, согласно (4.12) равен

.

Ответ: .

4.5 Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка

Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение вида решают путём -кратного интегрирования.

2. Уравнение вида , явно не содержащее искомой функции , решают с помощью замены . Тогда , где .

3. Уравнение вида , явно не содержащее независимой переменной , интегрируют с помощью подстановки , где . Тогда .

Пример 4.9 Решить уравнение .

Решение. Правая часть данного уравнения есть функция только переменной , поэтому оно решается двукратным интегрированием:

,

.

Ответ: .

Пример 4.10 Решить уравнение .

Решение. Это уравнение не содержит явно искомой функции . Делаем замену . Тогда . Подставляем выражения для и в данное уравнение:

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

, , ,

, , отсюда , .

Возвращаясь к первоначальной переменной , получим уравнение

.

Интегрируя полученное уравнение, находим

.

Ответ: .

Пример 4.11 Решить задачу Коши для уравнения , если ,

Решение. Данное уравнение не содержит явно . Полагая , получаем , где . Тогда уравнение принимает вид . Разделяем переменные и интегрируем:

, ,

, или .

Для определения воспользуемся начальными условиями , . Тогда и . Получаем:

, , , . Отсюда: .

При заданных начальных условиях и искомое частное решение будет .

Ответ: .