4. Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и её производную. В общем случае эти уравнения представляют собой соотношение вида
Если это уравнение
разрешимо относительно
,
то
.
(4.1)
Функция
,
которая обращает данное уравнение в
тождество, называется общим решением
дифференциального уравнения (4.1), где
произвольная
постоянная.
Общее решение
,
заданное в неявном виде, называется
общим интегралом уравнения.
Придавая различные численные значения, мы будем получать различные частные решения дифференциального уравнения.
4.1 Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением с разделенными переменными, для решения которого достаточно проинтегрировать обе части уравнения.
Дифференциальное уравнение вида
(4.2)
называется
уравнением с разделяющимися переменными.
Представим
в виде отношения дифференциалов
.
Затем умножим обе части уравнения на
и разделим на
,
тогда
.
Далее, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (4.2) в виде
Рассмотрим дифференциальное уравнение, записанное в виде
(4.3)
Уравнение (4.3) также
является уравнением с разделяющимися
переменными. Перенесём второе слагаемое
в левую часть равенства. Разделим обе
части равенства на
:
Далее, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (4.3) в виде
.
Пример 4.1 Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Это уравнение можно записать в виде
.
Умножим обе части уравнения на :
,
затем
разделим обе части уравнения на
:
.
Получили уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя обе части уравнения, находим общий интеграл:
,
.
Ответ: .
Пример 4.2 Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Перенесём второе слагаемое в правую часть
.
Далее разделим обе
части равенства на
.
Интегрируем обе части равенства
.
Интегралы вычисляем методом подведения под знак дифференциала
,
,
,
отсюда
,
или
.
Ответ:
.
4.2 Однородные уравнения первого порядка
По определению,
есть однородная функция
-го
измерения, если выполняется тождество
.
Уравнение называется однородным, если – однородная нулевого измерения.
Пусть уравнение
задано в виде
.
Оно будет однородным, если
,
являются однородными функциями одного
измерения.
Однородное
дифференциальное уравнение с помощью
подстановки
(откуда
)
приводится к уравнению с разделяющимися
переменными.
Пример 4.3 Решить
уравнение
.
Решение. Введём подстановку , отсюда . Подставляем в данное уравнение
,
.
Разделяя переменные, находим
,
,
,
.
В последнее выражение
вместо
подставим значение
.
Получим общий интеграл:
.
Ответ: .
Пример 4.4 Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Убедимся,
что данное уравнение является однородным.
Для этого числитель и знаменатель дроби
в правой части разделим на
:
.
Введём подстановку , отсюда . Подставляем в уравнение
,
,
.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:
,
.
Проинтегрируем полученное уравнение
,
.
Таким образом, получаем
,
,
.
С учётом
получаем общий интеграл уравнения
.
Ответ: .