4.8 Системы дифференциальных уравнений
Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений, является метод исключения, который позволяет систему дифференциальных уравнений первого порядка свести к одному дифференциальному уравнению -го порядка.
Пример 4.17 Найти решение системы дифференциальных уравнений
Решение.
Продифференцируем первое уравнение по
переменной
:
.
Подставим в полученное уравнение
значение
,
взятое из второго уравнения системы.
Получаем
.
Из первого уравнения системы выразим
:
.
Тогда уравнение
можно переписать в виде
,
.
Полученное уравнение является однородным линейным уравнением второго порядка. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
,
,
,
,
.
Тогда
.
Найдем
:
,
,
.
Тогда общее решение системы имеет вид
, .
Ответ: , .
Варианты практических тестовых заданий Вариант 1.
1. Вычислить неопределённые интегралы.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
,
,
,
,
,
.
2. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной линиями
,
,
.
3. Найти частные
производные
,
от функции
.
а)
|
б)
|
;
.
4. Вычислить производные
и
сложной функции.
,
где
,
.
5. Исследовать на экстремум функцию .
.
6. Решить дифференциальное уравнение.
а)
|
г)
|
б)
|
д)
|
в)
|
е)
|
;
;
;
;
,
;
.
Ответы: 1. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
2. 0,75. 5.
;
6.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Вариант 2.
1. Вычислить неопределённые интегралы.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
,
,
,
,
,
.
2. Вычислить длину
дуги линии
(
).
3. Найти частные производные , от функции .
а)
|
б)
|
;
.4. Вычислить производные и сложной функции.
,
где
,
.
5. Исследовать на экстремум функцию .
.
6. Решить дифференциальное уравнение.
а)
|
г)
|
б)
|
д)
|
в)
|
е)
|
;
;
;
;
;
.
Ответы: 1. а)
;б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
2.
3
;
5. Экстремума нет; 6. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Вариант 3.
1. Вычислить неопределённые интегралы.
а)
|
б)
|
в)
|
г) |
д)
|
е)
|
,
,
,
,
,
.
2. Найти площадь
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
3. Записать полный дифференциал функции .
а)
|
б)
|
;
.
4. Вычислить производную
сложной функции.
,
где
,
.
5. Исследовать на экстремум функцию .
.
6. Решить дифференциальное уравнение
а) |
г)
|
б)
|
д)
|
в)
|
е)
|
;
;
;
;
;
.
Ответы: 1. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
2.
;
5.
;
6. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.