В § 56 будет показано, что div а не зависит от выбора координатной системы.
Вихрь или ротор векторного поля определяется следующим обра зом:
i
j
к
rota = [V, а] =
д
д
д
_ tdR _ d Q
дР_ _ (Ш
dQ_ _
дР_\
дх
ду
дг
\д у
дг ’
дг
д х ’
дх
д у )'
р
Q
R
В § 57, п. 3 будет показано, что в любой правой системе координат вихрь векторного поля одинаков, а при переходе от правой системы координат к левой меняет знак. Поэтому иногда rot а называют псев довектором.
3. О ператор Г ам и л ьтон а V. Н ек отор ы е ф ор м ул ы в ек т о р н ого ан ал и за . Многие формулы векторного анализа легко выводятся при использовании символического вектора V (оператора Гамильто на). Нужно лишь помнить, что на функции и векторы, стоящие справа
от V, этот оператор действует как дифференциальный, а функции и векторы, стоящие слева от V, перемножаются с V как с обычным вектором по правилам векторной алгебры. В результате такого ум ножения получается новый дифференциальный оператор.
Применяя оператор V к произведениям векторов и скаляров, бу дем пользоваться следующим правилом: запишем результат примене ния оператора V к произведению в виде суммы произведений такой, что в каждом слагаемом оператор V применяется только к одному из
сомножителей, который мы отметим “стрелкой”, например а. Далее каждое слагаемое преобразуется так, чтобы все сомножители, не от меченные стрелкой, оказались слева от V. После этого стрелки опус каются.
Как нетрудно видеть, в одномерном случае оператор V есть опера тор дифференцирования функции одной переменной, и предлагаемое правило сводится к правилу нахождения производной произведения
£ и о = V H 0 = У(й>) + V H 0 =
+
=
+
Можно показать, что предложенное правило не приводит к ошибкам в формулах, линейных относительно оператора V. На нижеследующих примерах можно усвоить некоторые элементы техники обращения с оператором V. Читатель всегда может проверить получающиеся фор мулы в координатах.
1) Пусть г =
(x , y , z ), г =
|г|
= с/х2 +
у2 +
z2. Тогда
X7m(r) =
f M r l
Эу(г)
дт(г) \
=
,(г)(дг_ ск
дг
!
\ дх ’
ду ’
дг )
^ К , \ д х ’ ду’ дг
= / и
( г А
£ ) = — ■■■ г / о.
\ Г Г Г /
Т
§ 56. Формула Остроградского Гаусса
541
2)
grad((pi/>) = X7((pip) = V(<p*/0 + V(<pV>) =
= ф V<p + ф Ч'ф = ф grad <р + ipgrad ф.
3)
div(pa) = (V, pa) = (V, pa) + (V, pa) = (Vp, a) + p(V, a) =
= (a, Vp) + p(V,a) = (a, Vp) + pdiva =
(a,gradp) + pdiva.
Наряду с обозначением векторного произведения [а, b], будем ис
пользовать и более употребительное в физике обозначение
a x b .
4)
div[a, Ъ] =
(V, а, Ъ) = (V, а, Ъ) + (V, а, Ъ) =
г
г
= (b, V, а) —(а, V, b) = ( b , V x a ) - (а, V • b) (b. rot а) —(a, rot b).
5)
rot(pa) = V х (pa) = V х (pa) + V х (ра) =
= Vp х а + pV х а = p ro ta - а х
grad р.
В последующих примерах применяется правило вычисления двой
ного векторного произведения
c x ( a x b )
= (b ,c)a - (с,а) Ь.
6)
rot (а х b) = V х (а х b) = V х (а х b) + V х (а х Ь) =
= ( b V ) a - b ( V , a ) + a (V, Ъ) - (а V) b =
= ( b V ) a - ( a V ) b + a div b —b div a.
7)
b x ro ta = b x (V x a) = V (b,a) - (bV)a,
4
4
a x rotb = V (b,a) —(a V) b.
Складывая эти формулы, получаем
b х rota + a x rotb = V(b, a) + V(a, b) —(b V) a —(a V) b.
или
V(a.b) = a x rot b + b x ro ta + (a V) b + (b V) a,
2
где
a2 = (a, a).
V — = a x rot a + (a V) а,
8)
(c, b, rot a) = (c, b x rot a) = (с, V(b, a ) - ( b V ) a)
= (cV )(b,a) -
(c, (bV)
4) =
(b, (с V) a) - (c,(bV )a).
9)
div rot a =
(V, V x a) =
(V, V, a) = 0.
10)rot g rad / = V x V / = (V x V )/ = 0.
Последние две формулы легко проверяются в координатах.
542
Гл. XII. Теория поля
§ 56 . Ф орм ула О стр о гр а д ск о го -Г а у сса
1.
Общ ая ф ор м у л и р о в к а т ео р ем ы . Пусть G С R 3 — ограничен
ная область, граница которой 8G есть кусочно гладкая поверхность,
ориентированная внешними нормалями. В G = G U 8G задано непре
рывно дифференцируемое векторное поле а = (P,Q,R).
Тогда поток
векторного поля а через границу области 8G равен тройному интег
ралу от div а по области G, т. е.
J J (a, n) dS =
J J J d iv a dG,
а )
или
d G
G
J J P dydz + Qdzdx + R d x d y = J J J ( ^ + ^ + ^ )
dxdy dz- (2)
d G
G
О Докажем сначала формулу Остроградского-Гаусса в одном важ ном частном случае, когда область G еще и элементарна относительно всех трех координатных осей. Напомним, что область G называется элементарной относительно оси г, если найдутся две такие непрерыв ные в замыкании области О С R2 функции ср(х,у) и ф(х,у), что
G = {(ж, у , z ) : <р(х, у) < z < ф(х, у), (ж, у) <ЕО}.
Применяя формулу сведения тройного интеграла к повторному, получаем
ф(х,у)
j j j j ^ ( x , y , z ) d x d y d z
= j j d x d y
J x,y,z)dz =
G
Q
(p(x,y)
= J J R{x, y, Ip(x, y)) dxdy - J J R(x, y, ip(x, y)) dx dy =
= J J R(x,y, z) dx dy + J J R(x,y,z) dx dy. (3)
E i
E 2
Здесь Ei — поверхность, являющаяся графиком функции ф{х, 2/), а Е2 — поверхность, являющаяся графиком функции ср(х, 2/).
Мы воспользовались выражением поверх ностного интеграла второго рода через двой ной интеграл и тем, что поверхность Ei ориентирована внешними к 8G нормалями, которые составляют с осью г острый угол, а на поверхности Е2 внешние к 8G нормали составляют с осью г тупой угол (рис. 56.1). Добавляя к двум поверхностным интегралам в формуле (3) еще равный нулю интеграл
J J Rdx dy по куску цилиндрической поверх-
£3
§ 56. Формула Остроградского-Гаусса
543
ности, построенной на дП, и замечая,
что 8 G = (J £^,
получаем
J J J ^ { x , y , z ) d x d y d z =
J J Rdxdy .
(4)
G
dG
Аналогично, воспользовавшись элементарностью области относитель но осей х и у, докажем, что
J J J ^ - d x d y d z — J J P d y d z ,
J J J ^ - d x d y d z =
J J Qdzdx. (5)
G
dG
G
dG
Складывая равенства (4) и (5), получим формулу (2).
Примерами областей, элементарных относительно всех трех координатных осей, являются шар, куб, симплекс (фигура, получаю щаяся при пересечении четырех полу пространств (рис. 56.2)).
Точки А, В, С, D — вершины симп лекса, треугольники A B C , A B D , ACD и BCD — грани симплекса.
Дальнейшая схема последовательного расширения класса областей, для кото рых справедлива формула (2), такая же, как и при доказательстве формулы Грина на плоскости.
Будем называть область G объемно односвязнощ если для любой
ограниченной области П из условия дП С G следует, что и О с G. Для простоты будем говорить просто “односвяз ная область”. Формулу (2) теперь можно обобщить на ограниченную односвязную
область G с кусочно гладкой границей, ко торая кусочно гладкой перегородкой делит ся на две области, G\ и G2, элементарные относительно всех трех координатных осей. При этом dG\ — £ 1 U £ 3, 8 G2 = £ 2 U £ 3",
8 G = £ 1 U £ 2. Если 8 G\ и 8 G2 ориентированы внешними нормалями, то £ 3 и £^“ ориентированы противоположно (рис. 56.3).
Применяя формулу (2) к каждой из областей G\
и G2, получаем
J J J div a dx dy dz =
J J
(a, n) dS =
J J (a, n) dS +
J J (a, n) dS,
Gi
dGx
Ei
£3
J J J div a dx dy dz =
J J
(a, n) dS =
J J (a, n) dS +
J J (a, n) dS.
G 2
O G 2
£2
Складывая эти формулы и учитывая, что потоки через перего родку взаимно уничтожаются, получаем формулу (2) для области G.
544 Гл. XII. Теория поля
Далее индукцией формула (2) распространяется на односвязные области с кусочно гладкой границей, которые при помощи п непе ресекающихся гладких перегородок разбиваются на области, элемен тарные относительно всех трех координатных осей. Примером таких областей являются выпуклые многогранники, возникающие как пе ресечение конечного числа полупространств. Их всегда можно пред ставить как объединение симплексов. Можно распространить форму лу (2) и на произвольные многогранники — связные множества в /?3, являющиеся объединением конечного числа симплексов, причем два симплекса могут пересекаться только по одной из граней и каждая грань может быть общей не более чем для двух симплексов.
Предельный переход от многогранников к произвольной односвяз ной области с кусочно гладкой границей требует преодоления неко торых нетривиальных технических трудностей. •
Формула (2) подобно формуле Грина может быть обобщена на не которые неодносвязные области. Область с одной “дырой” будем на зывать двусвязной. Другими уловами, двусвязная область — это об ласть G такая, что G = G\ \ G2, где Gi и G2 — односвязные облас ти и G2 С Gi. Будем поверхность dG\ называть внешней границей
двусвязной области G, a <9G2 — внутренней
границей G (рис. 56.4).
Будем каждую из поверхностей dGi ори
ентировать внешними по отношению к со
ответствующей области G\ или G2 норма
лями. Тогда, разрезая гладкой перегородкой
область G на две односвязные области, при
меняя к каждой из областей формулу (2),
складывая полученные формулы и учиты-
' '
вая, что потоки через перегородку долж
ны взаимно уничтожаться, получаем формулу (2) для двусвязной об ласти
J J J div a dxdy dz =
J J
(a, n) dS — J J
(a, n) dS = J J (a, n) dS. (6)
G
dGi
dG 2
QG
Здесь под границей dG понимается объединение внешней и внут ренней границ, ориентированных внешними по отношению к облас ти G нормалями. Формула (2) обобщается на n-связную (с п “дыра ми”) ограниченную область с кусочно гладкими границами.
2.
Н ек отор ы е п р и м ен ен и я ф ор м ул ы О с т р о г р а д с к о г о -Г а у с
са. Формула Остроградского-Гаусса является основным инструмен том, позволяющим переходить от записи законов природы в виде за конов сохранения к записи в виде дифференциальных уравнений. С многочисленными примерами читатель встретится при изучении ос нов гидродинамики и других разделов физики. Многочисленны при менения формулы Остроградского-Гаусса и в математике.
§ 56. Формула Остроградского Гаусса
545
Приведем несколько примеров.
а) Формула для вычисления объема через поверхностный интеграл. Если Р = х, Q = у, R = z, то
dP_ + dQ + dR дх ду дг
и по формуле (2) получаем
б) Инвариантность diva. Пусть в области G задано непрерыв но дифференцируемое поле а (Р). Пусть Se(P) есть шар радиуса е с центром в точке Р, a dSe(P) — его граница (сфера), ориентирован ная внешними нормалями. Тогда
j j (a, n) dS
(diva)p =
(7)
О Действительно, применяя к Se(P) формулу (2), получаем
Se ( P)
dSe(P)
Воспользуемся теперь интегральной теоремой о среднем:
m(Se(P))(diva)P. =
J J ( a ,n ) d S , Р* G Se(P).
(8)
d S e ( P)
Формула (7) получается, если перейти к пределу в (8)
при е —^
О и воспользоваться непрерывностью функции diva(М) в точке Р. Нетрудно видеть, что вместо шара Se(P) можно выбрать любое семейство окрестностей Ge(P) с кусочно гладкими границами, диа
метры которых стремятся к нулю при е —^ 0.
Так как поток не зависит от выбора координатной системы, то из формулы (7) следует, что и diva не зависит от координатной систе мы. •
В некоторых случаях применение формулы Остроградского-Гаусса упрощает вычисление поверхностных интегралов.
Пр и м е р 1. Показать, что поверхностный интеграл
J = j j (у — z) dy dz + (z — x) dz dx + (x —y) dx dy
E
по
внешней стороне части конической поверхности х2 + у2 = г2,
0 ^
z ^ R равен нулю.
546 Гл. XII. Теория поля
Д Запишем поверхностный интеграл в виде J — / / (a, n) dS , где а =
E
= {у —z)i + (z —х)j + (ж —у)к. Тогда div а =
= 0. Применим формулу Остроградского-Га
усса к области G, изображенной на рис. 56.5.
Граница G состоит из поверхности Е и круга
Ei радиуса R
с центром в точке (0,0, R). Так
как div а = 0, то
JR
y
x
J J J div a dx dy dz = 0.
G
Рис. 56.5
Следовательно,
J =
J J (a, n) dS
J [ (a, n) dS =
J J (x —y) dx dy = 0. A
E
x2-\-y2^ 1
3.
С олен оидал ьн ы е в ек тор н ы е поля. Кусочно гладкую поверх
ность, являющуюся границей ограниченной односвязной области, в дальнейшем для краткости будем называть допустимой. Непрерыв но дифференцируемое в области G поле а будем называть соленоидальным, если поток вектора а через любую допустимую поверх ность Е С G равен нулю.
Т е о р е м а 1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле в области G было соленоидалъным, необходимо, а в случае односвязной (объемно) области и достаточно, чтобы diva = 0 в области G.
О Не о б х о д и мо с т ь . Пусть поле а соленоидально. Тогда поток век тора а через любую допустимую поверхность равен нулю. Возьмем произвольную точку Р G G. При достаточно малом г шар S £(P) С G. Поток же через границу шара равен нулю. Применяя формулу (7) для дивергенции, получаем, что diva = 0.
До с т а т о ч н о с т ь . Пусть область G объемно односвязна и пусть diva = 0 в области G. Возьмем произвольно кусочно гладкую по верхность Е С G, ограничивающую односвязную область П. В си лу односвязности области G область П С G. Применяя к П формулу Остроградского-Гаусса, получаем
Таким образом, поток через любую допустимую поверхность равен нулю. •
Покажем, что условие односвязности области существенно в фор мулировке теоремы 1. Рассмотрим поле “точечного источника”:
§ 57. Формула Стокса
547
Векторное поле точечного источника определено в неодносвязной области G, получающейся, если из пространства R3 удалить одну точку (начало координат). Покажем, что diva = 0 в G. Воспользу емся примерами 1 и 3 п. 4 § 55 (впрочем, читатель может провести вычисления и непосредственно в координатах, не обращаясь к этим примерам). Получаем
div а = О- div г
=-О—div г — ^
( г. V ДЛ =
47Г
г 3
47ГГ3
47Г V
г 3 /
4-7ГГ3
47Г \
г 4 г /
47Г ч г 3 г 3 /
Но если Se — шар радиуса е с центром в начале координат и его поверхность dSe ориентирована внешними нормалями, то поток
Л <*■is = If
;)ds = I If #
= Ь ff ^ = «•
d.Se
d.Se
d.Se
d.Se
Теорема 1 неприменима из-за неодносвязности области G, в которой задано поле точечного источника.
Уп р а ж н е н и е 1. Доказать, что поток поля точечного источника через любую допустимую поверхность, не содержащую внутри этот источник, равен нулю, а поток через любую допустимую поверхность, содержащую внутри источник, не зависит от поверхности и равен Q.
Ук а з а н и е . Применить формулу (2) к двусвязной области, ограничен
ной поверхностью У и поверхностью шара 5 е(0), лежащего внутри У.
У п р а ж н е н и е 2. Пусть непрерывно дифференцируемое векторное по ле а задано в двусвязной области G С R3 и d iv a = 0 в области G. Показать, что поле а можно представить в виде суммы соленоидального поля и поля точечного источника, помещенного внутрь “дыры” .
У к а з а н и е . Показать, что поток вектора а
через любую допустимую
поверхность, лежащую в области G и содержащую “дыру” внутри, не за
висит от этой поверхности.
§ 57 . Ф ор м ул а С токса
1. Ф ор м ул а С ток са для п р о ст о й
гл адк ой п о в ер х н о ст и .
Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простая поверхность У уравнением
r = r(u,v), (u,v) G Л С R2.
(1)
Здесь П — замкнутая область, граница которой есть положительно ориентированный гладкий (или кусочно гладкий) контур (при обходе границы (ЗП область П остается слева). Пусть (ЗП задается уравне ниями
и = u(t), v = v(t),
I.
(2)
548
Гл. X II. Теория поля
Образ кривой (ЗП при отображении (1) мы назвали (см. § 52) положи тельно ориентированным краем поверхности Е и обозначили (ЗЕ.
Напомним, что ориентация поверхности Е, создаваемая полем нор малей N = [г„,г„], называется согласованной с положительной ори ентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает с известным правилом правого винта.
Пусть в окрестности поверхности Е задано непрерывно диффе ренцируемое векторное поле а = (P ( x , y , z ), Q(x,y,z), R(x,y,z)). Ес
ли 7 — замкнутый контур, то криволинейный интеграл J (a, dr) в
7 физике называют циркуляцией векторного поля а по контуру у. Если
7 = (ЗЕ, то говорят, что поверхность Е натянута на контур у.
Т е о р е м а 1 (Стокса). Циркуляция векторного поля а по контуру у = (ЭЕ равна потоку вихря этого поля через поверхность Е, натяну тую на контур у, т. е.
У (a, dr) = j j( r o ta , n) dS.
(3)
£>£
E
О Докажем теорему Стокса
в тех предположениях, которые были
сформулированы в начале п. 1. Из (1) и (2) получаем уравнение края поверхности
Г = Г(u(t),v(t)), (I ^ ^ I.
Сводя криволинейные интегралы к определенным, получаем
Сделаем дополнительное предположение о непрерывности (а сле довательно, и равенстве) смешанных производных ruv и rvu. Тогда в силу формулы Ерина (1), § 51 получаем равенство
/
(a, dr) =
д ,
д
dudv =
J/J/ I[— (a,r„)а,г. -
^ ( a , r u)]
an
n
da
. daa
,
da
\ ,
,
,0xd x Xu +d&уУиy Vu
+ ~dzЖ Zu’
Tv) d u d v "
da
da
da
\
,
a i Xv
&y Vv +
d~z Zv’
Tu)
=
rv, (ru, V)a) - (ru, (r„, V)a)] dudv =
= 11 (ru, rv, rota) dudv = / / (rota,n) dS.
§ 57. Формула Стокса
549
Здесь была использована формула (см. § 55, пример 8)
(Ь, (с V) а) — (с, (b V ) а) = (с, b, rot а)
при b iy . с i'„. а также формула, выражающая поток через двой ной интеграл от смешанного произведения:
J J (a , n ) d S = J J ( r u, rv,a) dudv.
E fi
Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности, натянутой на кусочно гладкий контур. •
2 . Ф ор м ул а С ток са для к у со ч н о гл адк ой п о в ер х н о ст и . Раз режем кусочно гладкую поверхность на конечное число гладких кус ков и запишем формулу Стокса для каждого куска. Если эти формулы сложить, то криволинейные интегралы по разрезам взаимно уничто жатся, так как разрезы входят в ориентированные границы кусков с противоположными ориентациями. Останется только криволиней ный интеграл по краю поверхности (ЗЕ. Сумма потоков через куски даст, в силу аддитивности поверхностного интеграла, поток через всю поверхность Е, следовательно, формула Стокса справедлива и для ку сочно гладкой поверхности.
3. И н в а р и а н т н о ст ь r o t a в о р и ен ти р о в а н н о м ев к л и д о в о м п р о ст р а н ст в е . Пусть евклидово пространство Е 3 ориентировано, т. е. множество всех некомпланарных троек векторов разбито на два класса: “правых троек” и “левых троек”. Пусть а — непрерывно диф ференцируемое поле в области G. Возьмем точку Р G G и произволь ный вектор n, |n| = 1. Проведем через Р плоскость с нормалью п, возьмем в этой плоскости окружность дСе с центром в точке Р и столь малого радиуса е , что круг, вырезаемый этой окружностью из плоскости, лежит внутри области G. Ориентируем дСе по отноше нию к п по правилу правого винта. Применим к Се теорему Стокса, а затем интегральную теорему о среднем. Получаем
J
(a, dr) = J J (rota, n) dS = (rota (M*), n)7re2,
M* G Ce.
d C e
C e
Воспользовавшись непрерывностью rot а,
можем написать
J
(a, dr)
(rota, п)м = lim ——
.
(4)
7TS
Таким образом, проекция (rota,n) есть инвариант; она не зависит от выбора любой правой системы координат. Так как вектор п имеет произвольное направление, то и rota не зависит от выбора правой координатной системы.
