Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 6667 / 6867 68 > Следующая >>>

660 Гл. XV . Интегралы, зависящие от параметра

получаем

2	/2тг
[ е	/2тг	при х	+оо
[ е	xS{u)du,~ \ — е х	при х	+оо
J	У х
1/2
+00	+СЮ
I e- xS(u) du <2	2	e - x S ( 2) < 2 e - x S ( l ) _ 2
I e- xS(u) du <2	J S ' (и) e- xS(u) d u = \|	e - xS(2)	<	X
	X		X	X

(11)

i/2
Аналогично	du < - e - *.
J	x
о
Подставляя выражения (11) в формулу (10), получаем формулу
Стирлинга (9).
Так как Г(п + 1) = те!, то из (9) имеем
	те! ~ х/2ттпппе^п при те -X оо. ▲	(12)
2. Метод	стационарной фазы. Для вычисления	интегралов
	ь
	J f ( x ) e*AS(a0 dx

при больших значениях параметра А Стоксом был предложен метод

стационарной	фазы.
Т е о р е м а	2. Пусть функции f(x) и S(x) дважды непрерывно диф

ференцируемы на конечном отрезке [а,Ь], и пусть на (а,Ь) функция

S(x)	имеет	единственный экстремум			в	точке XQ €	(а,Ь),	причем
S"(xо) ф 0, f ( x о) ф 0.
Тогда при А —^ оо справедлива асимптотическая формула
Ь	i XS( x) j		х , ч	/ 2тг	i ( AS( xo) + ^ s i g n S " ( x 0) )
	е	, ' ' 1 ~	/ ( 1 “ ) / л р ? ч Т о 1 г Л			4	' ■	< 1 3 )
О Техника доказательства				теоремы 2	во многом повторяет техни

ку доказательства теоремы 1. Опять разобьем доказательство на пункты.

1. Если А —^ оо, то (см. § 72, пример 10)

a	a V А	+оо
/ eA2 d x = ^ =	j eif2 dt ~	-^= J eif2 dt =
0	0	0
+ o o	cos t2 dt + i J
y= ^ J	cos t2 dt + i J	sin t2 dtj	= -4= (* Л(% + i x л (% 1 =
				2 V 2	2 V 2,
		= I	. f?L ( —	+ i J - 4)	= I . /^ p W 4
		2 V Х \ ф 2		V 2 J	2 V A	•

Упражнения к гл. X V

661

2.Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на конечном

отрезке [0, а] и /(0) ф 0; тогда при Л -А оо имеем

	а
	I f ( x ) eiXx2 d* ~ \| ^	\| e” /4 /(0).
	о
	Действительно, f(x) —/(0) = xip(x), где ip(x) — непрерывная
функция. Поэтому
a	a		a
j	(/(*) - /(0)) eiXx2 dx = Jxtp(x) eiXx'2 dx = ^		/ <p(x) d{eiXx2) =
0	0		0
	Jip'(x) elXx	dx =	) ПРИ A ^ oo.
	о

Дальнейшее доказательство теоремы 2 в точности повторяет соответ ствующее доказательство теоремы 1, и мы его опускаем. •

При м ер 2. Найдем асимптотику функции Бесселя 2тг

J0(x) = _L f eixsin“ du.

2тг J

А Пусть S(u) = sinu. Тогда S' (и) = cosu, S"(u) = ^sinu,

s , ( , ) = s , ( | ) = 0i s g ) = L =

s " ( l ) = - 1- S " ( T ) = L

Разбивая интервал интегрирования на [0,7г] и \к, 2ж\ и используя на каждом из интервалов формулу (13), получаем при х -А +оо

Jq{x) = 2_ J 2JL. (ei(*-/4) + еЦ-х+*/4)

о Ш		=
2	/	тг	к
• cos I х — —			к
ттх	\	4	л/х/

УПРАЖ НЕНИЯ К ГЛАВЕ XV

1. В ыразить интеграл

гcos xt

,at

через функцию Бесселя Jo(x).

2. П оказать, что под знаком интеграла

X - ( х / у У

! г

нельзя соверш ить предельный переход при у —¥ 0.

662	Гл. XV . Интегралы, зависящие от параметра
3.	Вычислить интеграл
	1
	f	dx, а > О, Ь > О.
	J Ых
	о
4 . Исследовать на равномерную сходимость интеграл
	+00
	f	dx	а > 1.
	J	,	а > 1.
	J	1 + х а
	о

5. Исследовать на равномерную сходимость интеграл

+0 0

Уе - {х- у)2 dx

—оо

для у

€ [с, 4] и для у €

( —о о , + о о ) .

6 .

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

,1[ х р sin -х 4®,

> е ^

е > 0.

t o o , , .

Пусть

ф ункция

/(*)

непрерывна

и интеграл

j ——- d x сходится.

Д оказать формулу Фруллани

[

Пах)

} d x = ДО) In

а >

0, Ь >

+9°/(а* )

- / ( б * ) _______ .

Вычислить интеграл

+ 0 0

cos аж —cos bx .

---------------------ах.

9. Вычислить интеграл

+оо

оа:

а > 0.

cos bx d x ,

—ОО

10. П усть 0 < р < 1. Используя интеграл Эйлера

+00

7Г

Х Р

1 + ж

аж =

-------,

sina7r

вы числить интеграл

+00

Г х у

in- ж .

Jо

--------------

ах.

1 + X

11. П редставить интегралом Ф урье функцию

_ /

sign®,

если

|*|

а,

а > 0,

если

|*|

а.

12. П редставить интегралом Ф урье функцию

(

co sx

при

|*|

f ( x ) -

0 при |*| >

Упражнения к гл. X V

663

13. Реш ить интегральное уравнение

+00

/ f(t)e-lx- l:ldt = xelxl. —ОО

14. П оказать, что обобщенную функцию — можно определить как функ-

			X	*3 по правилу
ционал, действую щ ий на лю бую функцию tp €				*3 по правилу
</) = v.p.	f	' ^ - d x =	lim	f ^	d x ,
\ X /	J	X	s —^+ 0	J	X
	-°°		\ x\pe

где через v.p. обозначен интеграл в смысле главного значения.

15. Пусть {у', р) = 0 для любой функции р^Уд. П оказать, что у = const.

У к а з а н и е . Воспользоваться тем , что ф ункция р из пространства есть производная некоторой функции ф € @ в том и только том случае, когда

dx = 0.

16. Н айти	при	х	—^ +оо	асим птотическую формулу для				интеграла
				х	•	j	,
				r smt			,
				J	^	di-
				о
17. П усть	ф ункция /( х , у) непрерывна при							а
ф ункция (р(х)	интегрируем а на [а, Ь]. П оказать, что интеграл
				6
			j	<р(х) f(x,y)dx
			а
непрерывен по парам етру у на отрезке [с, 4] и
	d	Ъ				Ъ	d
	Jdy j		f(x, у) p(x) dx = J d x j f(x, y) p(x) dy.
	с	a				a	c
18. Пусть ф ункция f(x, у)				непрерывна и ограничена в прямоугольнике
а ^ . х < Ъ , c ^ - y ^ - d ,			ф ункция р ( х )			интегрируем а по Рим ану		на любом
							ь

отрезке [а, £] С [а, Ь), а несобственный интеграл j \р{х)\ dx сходится. Пока-

зать,	что:	а
зать,	что:	ъ
а)	интеграл	j f(x, у) р(х) dx сходится равномерно по парам етру у на

отрезке [с, 4] и непрерывен по парам етру на этом отрезке; б) справедлива формула перестановки порядка интегрирования

d Ь Ъ d

j dy J f (x, у) p(x) dx = J d x J f ( x, y) p(x) dy.

c a

		СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Никольский С.М. Курс м атем атического анализа. Т. I, II. — М.: Наука,
	1983.
2.	Кудрявцев Л.Д. Курс м атем атического анализа. Т. I, II. — М.: Высшая
	школа, 1981.
3.	Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисле
	ния. Т. I, II,	III. — М.: Н аука, 1969.
4.	Ильин В.А.,	Садовничий В.А., Сендов Б.Х. М атематический анализ. —
	М.: Н аука, 1979.
5.	Зорич В.А. М атематический анализ. Ч. I, II. — М.: Н аука, 1981, 1984.
6.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций
	комплексного переменного. — М.: Н аука, 1982.

7.Беклемишев Д . В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

—М.: Н аука, 1980.

8.Беклемишев Д . В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М.: На

	ука, 1983.
9.	Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное ис
	числение — М.: Мир, 1971.
10.	Тер-Крикоров А . М . , Шабунин	М.И. Курс м атем атического анализа. —
	М.: Н аука, 1988.	Чехлов В.И., Шабунин М .И. Сборник за
11.	Кудрявцев Л.Д., Кутасов А. Д,	Чехлов В.И., Шабунин М .И. Сборник за
	дач по м атем атическом у анализу (предел, непреры вность, дифферен
	цируем ость). — М.: Н аука, 1984.
12.	Кудрявцев Л.Д., Кутасов А. Д,	Чехлов В.И., Шабунин М .И. Сборник за

дач по м атем атическом у анализу (интегралы , ряды ). — М.: Н аука, 1986.

13.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:

Наука, 1985.

14.Рудин У. Основы м атем атического анализа. — М.: Мир, 1966.

15.Колмогоров А . И., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио

нального анализа. — М.: Н аука, 1972.

16.Треногий В.А. функциональны й анализ. — М.: Н аука, 1980.

17.Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТЛ,

1956.

18.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Н аука, 1975.

19.Владимиров B.C. Уравнения м атем атической физики. — М.: Наука,

1988.

20. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А. Д, Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник за дач по м атем атическом у анализу (функции нескольких переменных).

— М.: Н аука, 1995.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абеля подстановка 311

—преобразование 401

—признак сходимости 402

—теорем а о сходимости степен ного ряда 425

Абсолютно интегрируем ая функ ция 375

—сходящ ийся несобственный ин теграл 375

ряд 395

Алгебры основная теорем а 297

Аргум ент комплексного числа 289

Ариф м етическая прогрессия 35

Ариф метический корень 25

Арккосинус 100

Арксинус 99

Арктангенс 100

Асимптота 188

Асимптотические оценки интегра

лов 657

— равенства 116

Банахово пространство 605 Бернулли лем ниската 349

—неравенство 27 Бесселя неравенство 610

—ф ункция 618

Бета-ф ункция 636 Бином дифференциальный 311

— Н ью тона 30 Бинормаль 217

Больцано-Вейерш трасса теорем а 56

Вейерш трасса признак равномер ной сходимости интеграла 620

------------------ ряда 417

— теоремы о непрерывных функ циях 91

Вектор-функция 194 Верхняя грань м ножества 15 Вещественное число 9 Вихрь 540

Вы пуклая ф ункция 185 Выпуклое множество 231

Гамильтона оператор 254 Гамма-функция 634 Гейне-Вореля лемма 230

— определение предела 75 Гёльдера условие 582 Геометрическая прогрессия 36 Гиперболические функции 108 Главная нормаль 211 Гладкая кривая 204 Градиент функции 254 Граница множ ества 230 Граничная точка 230 График функции 63 Грина формула 501

Д ’Аламбера признак сходимости ряда 392

Дарбу сум м а 320 Декартов лист 505

Десятичная дробь 8 Десятичное приближение 10

Дивергенция 539

Дирака дельта-ф ункция 652 Дирихле признак 377, 400, 419

— формула 579

— ядро 580 Дифференциал функции 131, 149,

198, 250, 257 Дифференцирование 125 Длина кривой 205

Допустимое преобразование пара

метра кривой 202, 204

Дробь рациональная 298 Дуга кривой 202

Евклидово пространство 225

Ж орданова мера 449

666	Предметный указатель

Зам ена переменных 269 В интеграле 470

Зам кн у тая кривая 203 Зам кнутое множество 228 Зам ы кание м нож ества 228 Знак общ ности 7 Знак равносильности 7

— сущ ествования 7 Знакочередую щ ийся ряд 399

Инвариантность вихря 549

— дивергенции 545

— формы первого дифференциала 138, 250

Интеграл абсолютно сходящ ийся

375

—двойной 454

—Дирихле 627

—краты й 453

—криволинейны й 493, 496

—Лапласа 628, 657

—неопределенный 276

—несобственный 358, 361, 363

—определенный 318

—поверхностный 527, 529

—повторный 460

—с переменным верхним преде лом 334

—тройной 454

—условно сходящ ийся 375

—Ф урье 639

—Эйлера 632

Интегральная сум м а 318

— теорем а о среднем 332

Интегральны й косинус 315

— логарифм 315

— синус 315

Интегрирование иррациональных

функций 308

—по частям 282, 341, 365

—подстановкой 281

—рациональных функций 302

—тригоном етрических функций 312

Итегрируем ая ф ункция по Рим а ну 318

Интервал сходимости степенного ряда 430

Иррациональное число 10

К антора теорем а о вложенных от резках 54

К антора теорем а о равномерной непрерывности 240

Касательная к граф ику функции 124, 127

—к кривой 203

—плоскость 252

Квадрируем ая ф игура 344 Клейна буты лка 518 Клетка 446 Клеточная ф игура 343

Клеточное множество 446 Компакт 229 Комплекснозначные функции 293 Комплексные числа 285 Композиция функций 62

Контур 203

Координаты криволинейные 484

—полярные 382, 475

—сферические 482

—цилиндрические 481 Корень многочлена 295 Кош и-А дамара формула 428

—критерий 58, 85, 373, 386, 412, 623

—неравенство 223

—признак сходимости 393

—теорем а о промеж уточны х зна чениях 94

—формула конечны х прираще ний 153

Кривая гладкая 204

—кусочно гладкая 204

—ориентированная 493

—парам етризуем ая 202

—плоская 201

—простая 201

—спрям ляем ая 205 Кривизна кривой 211 Кривизны радиус 213

—центр 215

Круг сходимости 425 Кубируемое тело 349

Лагранж а множители 563

— теорем а о среднем 153

— форма остаточного члена 158, 436, 594

— формула конечны х прираще ний 153, 251

Лежандра многочлены 573

Лейбница теорем а 399

— формула 147

Предметный указатель

667

Логарифм натуральны й 108

Логарифм ическая производная 140

Лопиталя правило 172

Маклорена ряд 438

— формула 183

Максимум и м иним ум функции 67, 150, 557

Метрика 222

Метрическое пространство 222

Минковского неравенство 224

Мнимая единица 285

Мнимая часть комплексная числа 285

Множество выпуклое 231

—зам кнутое 228

—меры нуль 449

—несчетное 38

—откры тое 227

—плотное 606

—пустое 20

—связное 231

—счетное 32 Модуль числа 15, 316

М онотонная последовательность 50

—ф ункция 68

М уавра формула 291

Н атуральное уравнение кри вой 208

Непрерывность функции 86, 237

Несобственный интеграл 358, 361, 363

абсолютно сходящ ийся 375

зависящ ий от парам етра 618 кратны й 487, 488 условно сходящ ийся 375

Н еявная ф ункция 73, 259

Ниж няя грань 15 Норма 603 Нормаль к кривой 225

— к поверхности 253, 516

Нормальная плоскость 209

Нью тона-Лейбница формула 336

Область 231

—зам кн утая 231

—объемно односвязная 543

—односвязная 501

—определения функции 69

Область поверхностно односвяз ная 550

— элементарная 462 Образ множ ества 69, 267 Обратные функции 70

гиперболические 108 тригоном етрические 98

Объединение м ножеств 15 Объем тела 350

Окрестность точки 45, 228 проколотая 83, 232

Остаток ряда 386

Остаточный член формулы Тей лора 160, 761

Остроградского-Гаусса формула

542

—метод 308 Отображение 61

—непрерывно дифференцируе мое 267

—непрерывное 267

Отображение регулярное 267

П арсеваля равенство 610
Пеано	форма	остаточного		чле
на 161
Первая	квадратичная		форма	по
верхности 522
Первообразная 275
Первый	дифференциал		168,	250
Перегиба точка 187
Пересечение м ножеств 15
Периодические		десятичны е		дро
би 8

— функции 69 Площадь криволинейного секто

ра 348

—криволинейной трапеции 345

—поверхности 524

вращ ения 354 Поверхность кусочно гладкая 518

—неориентируем ая 519

—ориентируемая 519

—простая 511 Подпоследовательность 55 Поле векторное 538

—потенциальное 550

—соленоидальное 546 Полнота пространства 605

—системы элементов 610 Пополнение пространства 608 Последовательность бесконечно

большая 46

668	Предметный указатель

П оследовательность бесконечно малая 45

—монотонная 50

—ограниченная 40

—сходящ аяся 36

—числовая 35 Поток 530

Предел бесконечный 46, 79

—вектор-функции 194

—верхний 55

—двойной 232

—ниж ний 55

—односторонний 77

—по множ еству 77, 234

—по направлению 234

—повторный 235

—последовательности 36

—слева 77

—справа 78

—функции 75

—частичны й 55

Предельная точка 77, 228

Признак Абеля 379, 402, 420

— д’Аламбера 392

— Дирихле 377, 400, 419

Признак интегральны й 388

—Коши 393

—Лейбница 393

—сравнения 390 Производная 124

—бесконечная 130

—вектор-функции 197

—левая 129

—обобщенной функции 655

—обратной функции 135

—по направлению 253

—правая 129

—сложной функции 137

—смеш анная 255

—неявной функции 261

—частная 242

—п-го порядка 143

П ространство банахово 665

—гильбертово 605

—евклидово 224

—линейное 601

—м етрическое 222

—нормированное 603

—полное 605

—унитарное 601

_ 223

Раабе признак 394

Равномерная непрерывность функции 239

—сходимость интеграла 619

—— последовательности ф унк

ции 409 функционального ряда 414

Разбиение множ ества 446 Разложение на элементарные дро

би 301 Рим ана интеграл 318

—лемма 576

—сум м а 453 Ролля теорем а 151

Ряд абсолютно сходящ ийся 395

—гармонический 387

—знакочередую щ ийся 399

—М аклорена 438

—равномерно сходящ ийся 414

—расходящ ийся 383

—с неотрицательны ми членами

388

—степенной 425

—сходящ ийся 383

—Тейлора 434

—тригоном етрический 575

—условно сходящ ийся 403

—функциональный 414

—Ф урье 575

Синус гиперболический 108 Сопровождающ ий трехгранн ик

217 Степенной ряд 425

Стокса теорем а 548 Сумма вещ ественных чисел 20

—Дарбу 320, 453

—ряда 383

—частичная 383

Сходимость в смысле среднего квадратичного 612, 605

—равномерная интеграла 619 ряда 414

—слабая 653

Тейлора многочлен 158

—ряд 434

—формула 161, 158

Точка внутренняя м ножества 227

—предельная 228

—разры ва функции 88

—самопересечения кривой 203

—стационарная 179, 558

Предметный указатель

669

Точная верхняя грань 16

— ниж няя грань 16

Фейера сум м а 590

— теорем а 596 Ферма теорем а 151

Френе трехгранн ик 217

— формулы 217 Френеля интегралы 633

Фундам ентальная последователь ность 57

Функциональная последователь ность 408

Функция 61

—абсолютно интегрируем ая 375

—бесконечно большая 79

—бесконечно малая 83

—возрастаю щ ая 68

—вы пуклая 185

—гиперболическая 108

—дифференцируем ая 131

—интегрируем ая 318, 454

—комплекснозначная 293

—кусочно гладкая 584

—кусочно непреры вная 589

—логариф мическая 107

—нечетная 66

—неявная 73, 259

—обобщенная 653

—обратная 69

—ограниченная 60

Функция периодическая 69

—показательная 102

—рациональная 62

—регулярная 430

—сложная 62

—степенная 101

—строго монотонная 68

—тригонометрическая 97

—четная 66

—элементарная 62 Фурье интеграл 639

—преобразование 645

—ряд 574

Цилиндр 459 Цилиндрическое тело 350 Циркуляция 549

Эвольвента 215 Эволюта 215 Эйлера интегралы 643

—подстановки 280, 309

—формула 290 Эквивалентные функции 116 Экстремум локальный 150, 557

—строгий 179, 557

—условный 562

Элемент последовательности 37

Якобиан отображения 268

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 6667 / 6867 68 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб124Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб107Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб81Конспекты по химии.pdf