Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

ПА

граница области G, то касательная плоскость в точке х Е 8G назы­ вается опорной, если область лежит по одну сторону от касательной плоскости, т. е. в одном из полупространств, определяемых этой плос­ костью. В точке х Е 8G определена внутренняя нормаль (рис. 52.7).

У п р а ж н е н и е 4. Доказать, что для ограниченной области G с гладкой границей хотя бы в одной точке границы существует опорная касательная плоскость.

У к а з а н и е . Разбить множество всех полупространств z ^ а на два класса: класс полупространств К\, содержащих G, и К 2 — класс всех про­ чих полупространств вида z ^ а. Плоскость z = sup а, где sup берется по всем полупространствам первого класса, будет опорной.

Границу области G, ориентированную внешними нормалями, бу­ дем обозначать через 8G, а внутренними — через 8G~.

Несколько более сложно определяется ориентация кусочно гладких поверхностей.

Пусть Е — простая поверхность (рис. 52.8), т. е. гладкий и вза­ имно однозначный образ замыкания плоской области П. В декарто­ вых координатах отображение задается равенствами (1). Прообразом гладкого простого контура Г С Е будет простой гладкий контур 7 С П. Будем говорить, что контур Г ориентирован положительно, если его прообраз 7 ориентирован в плоскости (u,v) положительно (рис. 52.9), т. е. при обходе контура 7 область, им ограничиваемая, остается слева (вектор касательной и вектор внутренней нормали образуют правую

пару векторов в ориентированной плоскости (u,v)). Будем говорить, что ориентация простой поверхности Е, задаваемая полем единичных нормалей

п =

согласована с положительной ориентацией простых контуров, лежа­ щих на поверхности Е.

Покажем, что предложенное правило согласования ориентации по­ верхности с ориентациями простых контуров, лежащих на поверхнос­ ти, совпадает с известным правилом правого винта. Пусть A ( U Q , V Q ) G G Е, т. е. (uq,vq) £ Без ограничения общности можно считать, что и0 = 0, vo = 0. Построим в точке А(0, 0) касательную плоскость и ори­ ентируем ее вектором нормали п или, что то же самое, парой векторов (rw(0, 0), 14(0, 0)). Возьмем в плоскости переменных и, v окружность

Ее образ на поверхности есть простой замкнутый контур Г:

Г = Г (<£ COS £, £ S in t) , 0 ^ t ^ 27Г. С точностью до о (г) при г —>• 0 получаем, что

г = г(0, 0) + £ 1 4 (0, 0) cost + £iy,(0, 0) sint + o(e).

С точностью до о (г) кривая Г есть эллипс в касательной плоскос­ ти, ориентированной парой векторов (1 4 (0, 0), 14,(0, 0)).

Ориентация эллипса положительна (рис. 52.10). Если смотреть на касательную плоскость со стороны вектора нормали п, то движение

Касательная

плоскость

Рис. 52.10

по эллипсу происходит против часовой стрелки, от вектора 1 4 (0, 0) к вектору 14(0, 0) (область, ограничиваемая эллипсом, остается слева).

Пусть кусочно гладкая поверхность Е склеена из гладких простых кусков Ei, Е2, ..., Еп. Если склеивание происходит вдоль кривой 7 ,

то после удаления концов кривой 7 она входит в края двух и толь­ ко двух поверхностей £*. Кусочно гладкая поверхность £ называет­ ся ориентируемой, если можно так ориентировать гладкие куски £^, г = 1 , п что после согласования ориентации с ориентациями <9£i лю­ бая кривая склейки будет входить в состав краев соответствующих

Рис. 52.11

двух поверхностей с противоположными ориентациями (рис. 52.11). Можно показать, что кусочно гладкая поверхность, являющая­ ся границей ограниченной области, ориентируема, при этом каждый

ее гладкий кусок можно ориентировать внутренними нормалями. В дальнейшем мы будем рассматривать только ориентируемые гладкие и кусочно гладкие поверхности.

Выражение, стоящее в правой части равенства (3), называется

первой квадратичной формой поверхности, числа Е, F и G называют­ ся коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.

Подставляя в это тождество а = r w, b = rv и пользуясь тем, что в любой точке простой поверхности векторы ги и rv неколлинеарны, получаем

\[ru,rv}\2 = EG - F 2 > 0.

Условия Е > О, G > О, EG —F 2 > Одостаточны для положительной определенности первой квадратичной формы поверхности. •

Говорят, что первая квадратичная форма задает на поверхности метрику. Зная коэффициенты первой квадратичной формы поверх­ ности, можно вычислить длины кривых, лежащих на поверхности, определить площадь поверхности. Например, дифференциалы длин дуг координатных кривых, проходящих через точку A(u,v) поверх­ ности, равны следующим величинам:

2. Площадь простой поверхности. Пусть простая поверхность задана уравнением (1). Рассмотрим на поверхности криволинейный параллелограмм, ограниченный координатными линиями и, и + Аи,

v , v + Av. Векторы ru(u,v)Au и rv(u,v)Av будут касательными к

"А

v + A v ----

v

Рис. 53.1

координатным линиям, проходящим через точку A(u,v) поверхнос­ ти (рис. 53.1), а длины этих векторов в силу формул (4) будут от­ личаться от длин сторон криволинейного параллелограмма на о(Аи) и o(Av) соответственно при Аи —>0, Av —>0. Поэтому естественно считать, что площадь криволинейного параллелограмма приближенно равна площади dS параллелограмма, построенного на векторах ги А и и rv Av. Таким образом, при Аи > 0, Av > 0

Выражение (5) называется элементом площади поверхности.

Определим формально площадь простой поверхности Е как сле­ дующий двойной интеграл (область Л предполагается измеримой по Жордану):

Это определение оправдано приведенными выше эвристическими рассуждениями, а также перечисленными ниже свойствами площади поверхности.

Св о й с т в о 1. Число S(Е) не зависит от способа параметризации поверхности.

О Пусть переход от параметрического уравнения (1) к параметри­ ческому уравнению

p = p(u',v'),

совершается при помощи взаимно однозначного и непрерывно диффе­ ренцируемого отображения области Л' на область Л с якобианом, не равным нулю. Тогда, воспользовавшись формулой (11), § 52 и форму­ лой замены переменных в двойном интеграле, получаем

Жордану область Л, заданная уравнениями

х = и, у = v, г = 0, (и, v) £ Л,

то ее площадь, вычисленная при помощи формулы (6), совпадает с плоской мерой Жордана области Л.

О Так как

О Если область Л гладкой перегородкой разбита на области Л1 и Лз, то и поверхность Е разобьется на простые поверхности Ei и Е2. Из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования следу­ ет, что

S ( S ) = S ( S ! ) + S ( S 2 ). •

Св о й с т в о 4. Для поверхности, являющейся графиком непрерыв­ но дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану

области П, формула (6) для площади поверхности имеет следующий

заемой из нее цилиндром х2 —ах + у2 = 0 (см. рис. 48.10).

Д В силу симметрии достаточно ограничиться рассмотрением той части сферы, которая лежит в первом октанте. Цилиндр будет выре­ зать из нее множество точек, определяемое следующими неравенст­ вами и равенствами:

то система равенств и неравенств (8) эквивалентна равенствам (9) и неравенствам

(10)

определяющим в плоскости параметров (р, ф) треугольную об­ ласть П (рис. 53.2). Интересующая нас простая поверхность есть образ треугольной области П при отображении (9).

Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. Получаем г = (a cosф cos р, a cos?/’ sin р, a sin?/’),

=(—a sin?/’ cosp, —a sin?/’ sin р, a cos?/’),

=(—а cos?/’ sinp, a cos?/’ cos p, 0),

E = = a2, F = (Гф,Тф) = 0, G = r2 = a2cos2 ф.

Площадь части сферы х2 + у2 + z 2 = а2, вырезаемой из нее цилиндром х2 —ах + у2 = 0, равна

526Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы

3.Площадь почти простой поверхности. Почти простая по­ верхность была определена в § 52. Она задается уравнением г = r(u, v),

(u,v) G О, где Л — плоская область. По определению найдется после­ довательность ограниченных областей {Л„} такая, что Л„ С Лп+ъ

СЮ

Л = (J Лп, а поверхности Еп, определяемые уравнениями г = r(u, v),

п = 1

(u,v) € Л„, являются простыми. Предположим дополнительно, что области Л„ измеримы по Жордану. Тогда под площадью S(Е) почти

простой поверхности будем понимать lim S(En).

п—too

Так как числовая последовательность S(Еп) монотонно возраста­ ет, то она всегда имеет конечный или бесконечный предел

Интеграл в формуле (11) нужно понимать как несобственный (см. § 49). Если область Л измерима по Жордану, а функция \/EG —F2 ограничена на Л, то интеграл в формуле (11) будет двойным интег­ ралом Римана.

Пр име р 2. Найти площадь части боковой поверхности конуса z2 = х2 + у2, z /р 0, вырезаемой из нее цилиндром х2 —ах + у2 = 0.

А Обозначим часть боковой поверхности конуса, вырезаемую из нее цилиндром, через Е. Если перейти к цилиндрическим координатам, то Е будет почти простой поверхностью, определяемой параметри­ ческими уравнениями

Найдем коэффициенты первой квадратичной формы этой поверх­

Если поверхность E не является простой или почти простой, но может быть разрезана на конечное число простых кусков, то ее пло­ щадью называют сумму площадей всех простых кусков.

ная функция F ( x , y , z ) . Двойной интеграл (несобственный интеграл)

//F(3(x(u,v), y(u,v), z(u,z))\[ru,rv]\dudv fi

будем называть поверхностным интегралом первого рода от функции

F(x,y,z) по поверхности Е и обозначать символом J j F d S . Таким

Интеграл (1) не зависит от выбора параметрического уравнения поверхности. Это доказывается так же, как и для интеграла (6), § 53, задающего площадь поверхности. Аддитивность интеграла (1) отно­ сительно поверхности следует из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования.

Если функция F(x,y,z) 0, то ее можно интерпретировать как плотность материальной поверхности. В этом случае интеграл (1) ра­ вен массе поверхности. В самом деле, произвольному разбиению об­ ласти П на области fij, i = 1,п, соответствует разбиение поверхнос­ ти Е на простые поверхности Е* i = 1,п. Применяя интегральную теорему о среднем, получаем, что

S(Si) = J J \[ru,rv]\dudv = |[ги,г„]|*т(П*)- fii

Символ |[ru,r„]|j означает, что значение функции |[ru,r„]| вычис­ лено в некоторой точке («,,«,) € П. Масса поверхности приближенно равна следующей сумме:

Точное значение массы есть по определению предел этой суммы при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, т. е. равняется интег­ ралу (1).

В § 53 было дано выражение величины |[ru,r„]| через коэффици­ енты первой квадратичной формы поверхности. Подставляя это вы­ ражение в формулу (1), получаем следующее выражение для поверх­

П р и м е р 1. Найдем положение центра тяжести однородной полу­ сферы х2 + у2 + z2 = R 2, z ^ 0.

Д Без ограничения общности считаем, что плотность р = 1. Пара­ метризуем полусферу

х = R cos срcos Ф, у = R sin срcos т/>, z — R sin т/>,

0 ^ р ^ 27г,

В примере 2, § 53 было вычислено, что \JEG —F 2 = R 2cos ip. Масса полусферы равна числу

В силу симметрии полусферы х с = ус = 0. А Для поверхности Е, являющейся графиком непрерывно дифферен­

цируемой функции z = /(ж ,у), (х,у) G П, формула (2) принимает сле­ дующий вид:

Для функции F(x,y,z), непрерывной на кусочно гладкой поверх­ ности Е, поверхностный интеграл определяется как сумма по­ верхностных интегралов по всем

гладким кускам.

Пр и ме р 2. Вычислить поверх­ ностный интеграл

Д Граница Е симплекса Т состоит из четырех треугольных граней:

компоненты Р , Q, R которой есть непрерывные функции в некоторой области, содержащей поверхность £.

Ориентируем поверхность £ единичными нормалями

N

Противоположная ориентация поверхности £ возникает при заме­ не в формуле (6) вектора N на вектор —N. Заметим еще, что для простой поверхности |N| ф 0.

Спроектируем в каждой точке поверхности £ вектор а на нормаль­ ный вектор. Тогда на поверхности £ будет определена непрерывная функция F(x,y,z) = (а, п), знак которой зависит от ориентации по­ верхности.