21. Формализация понятия алгоритма. Машина поста. Абстрактная машина а. Тьюринга. Нормальные алгоритмы Маркова.

Можно считать, что алгоритм - это преобразование слов из заданного алфавита: исходное слово перерабатывается (переписывается) алгоритмом в результирующее слово. Каким бы ни был конечный алфавит, любой его символ может быть закодирован с помощью двоичного алфавита. Иначе говоря, входные данные алгоритма могут быть представлены конечной цепочкой битов. То же самое можно сказать и о выходных данных. Конечная цепочка битов может интерпретироваться как целое неотрицательное число.

Из этого можно сделать важный вывод: любому алгоритму может быть поставлена в соответствие функция, отображающая множество неотрицательных целых чисел в себя. Однако мы не утверждаем обратного. Более того, существуют функции, не вычисляемые никаким алгоритмом. Вычислимой функцией будем называть функцию, вычисляемую некоторым алгоритмом.

Известно несколько подходов к формализации понятия «алгоритм»:

- теория конечных и бесконечных автоматов;

- теория вычислимых (рекурсивных) функций;

- лямбда-исчисление Черча.

Все эти возникшие исторически независимо друг от друга подходы оказались впоследствии эквивалентными. Главная цель формализации понятия алгоритма такова: подойти к решению проблемы алгоритмической разрешимости различных математических задач, т.е. ответить на вопрос, может ли быть построен алгоритм, приводящий к решению задачи. Мы рассмотрим постановку этой проблемы и некоторые результаты теории алгоритмической разрешимости задач, но вначале обсудим формализацию понятия алгоритма в теории автоматов на примере машин Поста, Тьюринга, а также нормальных алгоритмов Маркова.

Машина Поста

Машина Поста – это абстрактная (несуществующая реально) вычислительная машина, созданная для уточнения (формализации) понятия алгоритма. Представляет собой универсальный исполнитель, позволяющий вводить начальные данные и читать результат выполнения программы.

В 1936 г. американский математик Эмиль Пост в статье описал систему, обладающую алгоритмической простотой и способную определять, является ли та или иная задача алгоритмически разрешимой. Если задача имеет алгоритмическое решение, то она представима в форме команд для машины Поста.

Машина Поста состоит из …

бесконечной ленты, поделенной на одинаковые ячейки (секции). Ячейка может быть пустой (0 или пустота) или содержать метку (1 или любой другой знак), головки (каретки), способной передвигаться по ленте на одну ячейку в ту или иную сторону, а также способной проверять наличие метки, стирать и записывать метку.

Текущее состояние машины Поста описывается состоянием ленты и положением каретки. Состояние ленты – информация о том, какие секции пусты, а какие отмечены. Шаг – это движение каретки на одну ячейку влево или вправо. Состояние ленты может изменяться в процессе выполнения программы.

Кареткой управляет программа, состоящая из строк команд. Каждая команда имеет следующий синтаксис:

i K j,

где i - номер команды, K – действие каретки, j - номер следующей команды (отсылка).

Всего для машины Поста существует шесть типов команд:

V j - поставить метку, перейти к j-й строке программы.

X j - стереть метку, перейти к j-й строке программы.

<- j - сдвинуться влево, перейти к j-й строке программы.

-> j - сдвинуться вправо, перейти к j-й строке программы.

? j1; j2 - если в ячейке нет метки, то перейти к j1-й строке программы, иначе перейти к j2-й строке программы.

! – конец программы (стоп).

У команды «стоп» отсылки нет.

Варианты окончания выполнения программы на машине Поста:

Команда "стоп" - корректная остановка. Возникает в результате выполнения правильно написанного алгоритма.

Выполнение недопустимой команды – нерезультативная остановка. Случаи, когда головка должна записать метку там, где она уже есть, или стереть метку там, где ее нет, являются аварийными (недопустимыми).

Уход в бесконечность, зацикливание. Машина Поста в результате работы алгоритма может вообще не остановиться (никогда не дойти до команды «стоп» и никогда не завершиться аварийной ситуацией).

Элементарные действия (команды) машина Поста проще команд машины Тьюринга. Поэтому программы для машины Поста имеют большее число команд, чем аналогичные программы для машины Тьюринга.

Почему достаточно лишь два различных символа (есть метка, нет метки)? Дело в том, что любой алфавит может быть закодирован двумя знаками; в зависимости от алфавита возрастать может только количество двоичных символов в букве алфавита.

Машина Тьюринга

Машина Тьюринга состоит из бесконечной в обе стороны ленты, разделенной на ячейки, и автомата (головки), которая управляется программой.

Программы для машин Тьюринга записываются в виде таблицы, где первые столбец и строка содержат буквы внешнего алфавита и возможные внутренние состояния автомата (внутренний алфавит). Содержимое таблицы представляет собой команды для машины Тьюринга. Буква, которую считывает головка в ячейке (над которой она находится в данный момент), и внутренне состояние головки определяют, какую команду нужно выполнить. Команда определяется пересечением символов внешнего и внутреннего алфавитов в таблице.

Чтобы задать конкретную машину Тьюринга, требуется описать для нее следующие составляющие:

Внешний алфавит. Конечное множество (например, А), элементы которого называются буквами (символами). Одна из букв этого алфавита (например, а0) должна представлять собой пустой символ.

Внутренний алфавит. Конечное множество состояний головки (автомата). Одно из состояний (например, q1) должно быть начальным (запускающим программу). Еще одно из состояний (q0) должно быть конечным (завершающим программу) – состояние останова.

Таблица переходов. Описание поведения автомата (головки) в зависимости от состояния и считанного символа.

Автомат машины Тьюринга в процессе своей работы может выполнять следующие действия:

Записывать символ внешнего алфавита в ячейку (в том числе и пустой), заменяя находившийся в ней (в том числе и пустой).

Передвигаться на одну ячейку влево или вправо.

Менять свое внутреннее состояние.

Одна команда для машины Тьюринга как раз и представляет собой конкретную комбинацию этих трех составляющих: указаний, какой символ записать в ячейку (над которой стоит автомат), куда передвинуться и в какое состояние перейти. Хотя команда может содержать и не все составляющие (например, не менять символ, не передвигаться или не менять внутреннего состояния).

Нормальные алгоритмы Маркова.

Предложенный А.А.Марковым способ уточнения понятия алгоритма основан на понятии нормального алгоритма, который определяется следующим образом. Пусть задан алфавит A и система подстановок B. Для произвольного слова P подстановки из B подбираются в том же порядке, в каком они следуют в B. Если подходящей подстановки нет, то процесс останавливается. В противном случае берется первая из подходящих подстановок и производится замена ее правой частью первого вхождения ее левой части в P. Затем все действия повторяются для получившегося слова P1. Если применяется последняя подстановка из системы B, процесс останавливается.

Такой набор предписаний вместе с алфавитом A и набором подстановок B определяют нормальный алгоритм. Процесс останавливается только в двух случаях:

когда подходящая подстановка не найдена;

когда применена последняя подстановка из их набора.

Различные нормальные алгоритмы отличаются друг от друга алфавитами и системами подстановок.

Приведем пример нормального алгоритма, описывающего сложение натуральных чисел (представленных наборами единиц).

Алфавит:

А={+,1}

Система подстановок B:

1+ -> + 1

+ 1 -> 1

1 -> 1

Слово P: 11+11+111.

Последовательная переработка слова P с помощью нормального алгоритма Маркова проходит через следующие этапы:

Р = 11 + 11 + 111 Р5 = +1 + 111111

Р1 = 1 + 111 + 111 Р6 = + +1111111

Р2 = + 1111 + 111 Р7 = +1111111

Р3 = + 111 + 1111 Р8 = 1111111

Р4 = + 11 + 11111 Р9 = 1111111