§5. Аксіоматична побудова теорії ймовірності

Із статистичного означення ймовірності випадкової події випливає, що ймовірність події є число, біля якого стійко коливається частота цієї події. Тому аксіоми теорії ймовірності вводяться таким чином, щоб ймовірність події зберігала основні властивості частоти. Тільки в цьому випадку дана теорія буде добре узгоджуватись з досвідом.

Аксіома 1. Ймовірність випадкової події А є невід’ємне число, що знаходиться між нулем і одиницею, тобто

.

Аксіома 2. Ймовірність достовірної події рівна одиниці

.

Аксіома 3. Ймовірність неможливої події рівна нулеві

Р()=0.

Відмітимо, якщо ймовірність деякої події А рівна нулеві, то це не означає, що подія неможлива. Аналогічно, якщо ймовірність деякої події рівна одиниці, то це не означає, що немає таких випадків, коли дана подія не відбувається.

Аксіома 4. Ймовірність об’єднання (суми) двох несумісних подій А та В рівна сумі ймовірностей цих подій, тобто

. (1)

Для формулювання аксіоми, що відповідає п’ятій властивості частоти, вводиться поняття умовної ймовірності.

Означення 1. Ймовірність події А, при умові того, що відбулася подія В, називається умовною ймовірністю події А по відношенню до події В і позначається

Р(А\В) або Р_В(А).

Аксіома 5. Ймовірність перетину (добутку) двох подій рівна добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, тобто

Р(А В)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А).

Приклад 1. В ящику 10 червоних, 12 синіх і 8 білих кульок. Навмання виймається одна кулька. Яка ймовірність, що вона буде синя чи біла?

Рішення. Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що вийнята кулька синя, а через В подію, яка полягає в тому, що вийнята кулька біла. Тоді

, .

Події А та В несумісні (поява білої кульки включає появу синьої і навпаки), тому:

^.

Лекція 2. ОПЕРАЦІЇ НАД ЙМОВІРНОСТЯМИ.

ФОРМУЛИ ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ ТА БАЙЄСА

§1. Операції над ймовірностями

Методом повної математичної індукції узагальнюються аксіоми 4 та 5 на довільне скінченне число подій.

1. Ймовірність об’єднання несумісних подій

Теорема 1. Ймовірність об’єднання скінченного числа несумісних подій рівна сумі ймовірностей цих подій:

Р(А₁ А_{2 ...}А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n). (1)

Доведення. Нехай теорема має місце для n-1 подій:

.

Позначимо , тоді, в силу аксіоми об’єднання двох подій:

Теорема доведена.

Якщо число несумісних подій, що входять в об’єднання, є нескінченно великим, то поширення правила додавання ймовірностей на цей випадок встановлюється аксіоматично.

Аксіома 6. Ймовірність об’єднання нескінченно великого числа несумісних подій рівна сумі ймовірностей цих подій:

(2)

Наслідок 1. Якщо події А₁, А₂,..., А_n утворюють повну групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей рівна одиниці:

Доведення. Так як події А₁, А₂, ..., А_n утворюють повну групу подій, то

- подія достовірна. Так як події А₁, А₂, ..., А_n – несумісні, то

. (3)

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій рівна одиниці:

, що випливає з наслідку 1. Тому

. (4)

Приклад 1. При прийомі партії з 80 виробів, серед яких 6 бракованих, перевіряються 40 навмання вибраних деталей. Знайти ймовірність того, що партія буде прийнята, якщо умовами прийому допускається наявність не більше двох бракованих виробів серед перевіряючих.

Рішення. Нехай подія А полягає в тому, що при перевірці 40 виробів не буде виявлено жодного бракованого, В – буде виявлено 1 бракований виріб з 40, С – буде виявлено 2 бракованих вироби з 40. Події А, В, С – несумісні.

Згідно з умовами прийому, партія виробів буде прийнята, якщо буде мати місце подія . Тому, згідно з теоремою 1, запишемо:

.

Із 80 виробів 40 можна вибрати способами. Із 74 небракованих виробів 40 виробів можна вибрати способами, тобто

Аналогічно

тому