§3. Частота події і її властивості

Нехай простір елементарних подій  є скінченною множиною, =₁, ₂, ... _n, тобто є тільки n можливих результатів випробовування, тобто множина  є повна група несумісних подій і всі елементарні події рівноможливі.

Проводиться серія з n випробовувань, в кожному з яких подія А могла відбутись, або не відбутись.

Частотою події А в даній серії випробовувань називається відношення числа випробовувань, в яких з’явилась подія, до числа всіх випробувань.

Позначивши частоту події А через Р*(А), одержують:

P*(A)= ,

де N(А) – число елементів множини А. Якщо N(А)= m, то Р*(А)=

Приклад. З партії виробів зі 100 штук 5 виробів виявились бракованими. Обчислити частоту браку.

Рішення. Нехай А – подія, яка полягає в тому, що виріб бракований. Тоді N(А)=m=5, n=100.

Р*(А) = 5/100 = 0,05.

Розглянемо властивості частоти:

Властивість 1. Частота випадкової події А є невід’ємне число, що міститься між нулем і одиницею, тобто

0  Р*(А)  1

бо 0  N(А)=m  n.

Властивість 2. Частота достовірної події рівна 1, бо m=n, отже:

Р*(А) = =1.

Властивість 3. Частота неможливої події рівна нулю, бо m=0, отже Р*()=0/n=0.

До цих пір розглядалась частота одної події, а на практиці можуть бути випадки, коли в серії з n випробовувань відбувається не одна подія, а декілька, які знаходяться в певному відношенні одна з другою.

Якщо при повторенні випробовувань може з’явитись або подія А, або подія В, то має місце наступна властивість частоти, яка називається правилом додавання частот.

Властивість 4. Частота об’єднання двох несумісних подій А та В рівна сумі частот цих подій:

Р*(АВ) = Р*(А)+Р*(В).

Доведення. Нехай в результаті серії з n випробовувань подія А з’явилась m раз, а подія В – k раз. Це значить, що Р*(А)= Р*(В)= .

Так події А та В несумісні, то

N(АВ)=N(А)+N(В),

P*(AUB)= = = =P*(A)+P*(B).

Наслідок. Нехай подія Ā протилежна до події А. Тоді АĀ=; Р*()=1=Р*(АĀ)=Р*(А)+Р*(Ā),

звідки Р*(Ā)=1-Р*(А), тобто частота протилежної події Ā рівна одиниці мінус частота події А.

Частоту однієї події, обчислену при умові, що відбулась друга подія, називають у м о в н о ю частотою і позначають:

Р*(А\В), Р*(В\А) або ( Р_В*(А), Р_А*(В)).

Властивість 5. Частота перетину двох подій рівна добутку частоти однієї з них на умовну частоту другої.

Р*(АВ)=Р*(А)Р_А*(В)=Р*(В)Р_В*(А).

Доведення. Нехай в результаті серії з n випробовувань подія А відбулася m раз і подія В – k раз, причому ℓ раз події А та В відбулись разом. Тоді

P*(A)= , P*(B)= , P*(A B)= .

Так як подія А відбулася в m випробовуваннях і в ℓ з цих m випробовувань з’явилась разом з нею подія В, то умовна частота події В при умові, що подія А мала місце, рівна , тобто Р_А*(В)= .

Аналогічно Р_В*(А)= .

Тоді P*(A B)= =  =P*(A)*Р*_А(В)=

=  =  =P*(B)P* (A).

§4. Ймовірність події

Частоту події можна визначити тільки після проведення випробувань, а в різних серіях випробувань, при одних і тих же умовах частота події не буде постійною. Тому поняття частоти є поганою характеристикою події. Проте в міру збільшення числа випробувань, частота поступово стабілізується, тобто приймає значення, яке мало відрізняється від деякого певного числа. Таким чином, з даною подією можна зв’язати деяку постійну величину, навколо якої групуються частоти і яка є характеристикою об’єктивного зв’язку між комплексом умов, при якому проводяться випробовування, і подією. Ця постійна величина називається ймовірністю події.

Ймовірністю випадкової події називається постійне число, навколо якого групуються частоти цієї події в міру зростання числа випробувань.

Таке означення ймовірності називається статистичним. Ймовірність події А прийнято позначати Р(А).

Статистичний спосіб задання ймовірності має ту перевагу, що він опирається на реальні випробовування, але має і той недолік, що для надійного визначення ймовірності необхідно провести велике число випробувань.

Те, що кожне масове випадкове явище має свою ймовірність, є дослідним фактором і підтверджує існування статистичних закономірностей в природі.

Статистичне означення ймовірності події хоча і досить повно відображає зміст цього поняття, але не дає змоги фактичного обчислення ймовірності, тобто не є “робочим” означенням. Тому розглядається інше, що називається класичним означенням ймовірності події.

Класичний спосіб означення ймовірності базується на понятті рівноможливих подій, які є необхідною умовою випробування і утворюють повну групу несумісних подій.

Рівноможливі і несумісні події, що утворюють повну групу, будемо називати випадками або шансами. По відношенню до кожної події випадки (шанси) діляться на сприятливі, при яких ця подія відбувається, і несприятливі, при яких ця подія не відбувається. Наприклад, при киданні грального кубика події появи парного числа очок є сприятливими три випадки 2, 4, 6 і несприятливими також три випадки 1, 3, 5.

Означення (класичне). Ймовірністю появи деякої події називається відношення числа випадків, сприятливих появі цієї події, до загального числа рівноможливих випадків.

Таке означення називається через те класичним, бо воно було означенням ймовірності в початковий період розвитку теорії ймовірності. Перевага цього означення ймовірності події полягає в тому, що з його допомогою можна обчислити ймовірність події до випробування. Але його недоліком є те, що воно застосовується тільки тоді, коли ми маємо справу з рівноможливими даними випробування.

Позначивши число випадків, сприятливих події А, через m, а загальне число рівноможливих випадків через n, дане класичне означення ймовірності можна записати у вигляді формули

P(A)= . (1)

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що при киданні грального кубика випаде парне число очок.

Рішення. Нехай подія А – випадання парного числа очок. Число всіх рівноможливих випадків n = 6, а число сприятливих випадків m = 3 (випадання 2, 4, 6 очок). Тому Р(А)= = .

Приклад 2. В ящику 15 кульок, з них 9 червоних і 6 синіх. Знайти ймовірність того, що наугад вийняті дві кульки будуть червоними.

Рішення. В даному прикладі загальне число рівноможливих випадків рівне числу комбінацій із всього числа кульок по два , оскільки довільні дві кульки із п’ятнадцяти можуть бути вийняті з рівноможливими шансами:

n= = =105.

Нехай подія А полягає в тому, що були вийняті дві червоні кульки; тоді число випадків, сприятливих появі події А, рівне числу комбінацій із числа червоних кульок по два, тобто

= =36.

Отже, Р(А)= = .