§2. Операції над подіями

Розглянемо приклад. Випробування полягає в тому, що кидається гральний кубик, зроблений з однорідного матеріалу; грані кубика з номерами від 1 до 6. При одному киданні кубика на його поверхні може випасти будь-яке число від 1 до 6. Подію “при одному киданні випало очок” позначимо через _і; події _і є елементарними (нерозкладними), вони вичерпують усі можливі результати заданого випробовування. Але з цим випробовуванням можна пов’язати і складні (розкладні) події. Так, нехай подія А полягає в тому, що при одному киданні кубика випало парне число очок, подія В – випало число очок, кратне 3. Зрозуміло, що ці події є складними, вони можуть бути розкладені на елементарні події.

Подія А настає тоді і тільки тоді, коли настає одна з елементарних подій ₂, _4, ₆; так само настання події В еквівалентне настанню однієї події ₃, ₆. Тому природно розглядати події А та В як відповідні множини елементарних подій: А=₂, ₄, ₆, В=_3, ₆.

Таким чином під елементарними подіями, пов’язаними з певним випробуванням, розуміють усі нерозкладні результати цього випробування. Кожну подію, яка може настати в результаті цього випробування, можна розглядати як деяку множину елементарних подій.

Відмітимо, що елементарні події можуть бути об’єктами різноманітної природи. Тому, формалізуючи попередні міркування, приходимо до такого означення:

Означення 1. Простором елементарних подій називається довільна множина (скінченна чи нескінченна) і позначається буквою , його елементи (точки) тобто елементарні події, буквами  _i або .

Підмножини простору елементарних подій називають подіями (подія А настає, якщо настає яка-небудь з елементарних подій А). Сама множина  називається достовірною подією, порожня множина  – неможливою подією. Тим самим дано попереднім означенням події теоретико-множинне трактування.

Розглянемо відношення, в яких можуть знаходитись події і операції над подіями.

Означення 2. Подія А є окремим випадком В (або В є наслідком А), якщо множина А є підмножиною В. Позначають це відношення так само, як для множин: АВ.

Таким чином, відношення АВ означає, що всі елементарні події, які входять в А, входять також в В, тобто, що при настанні події А відбувається також подія В. При цьому, якщо АВ та ВА, то А=В.

Означення 3. Об’єднанням (або сумою) АВ подій А, В називається їх теоретико-множинне об’єднання, тобто подія, яка складається з елементарних подій, що входять до складу хоча б однієї з подій А,В.

Означення 4. Перетином (добутком) АВ подій А, В називається їх теоретико-множинний переріз, тобто подія, яка складається з елементарних подій, що входять в обидві події А, В.

Інакше кажучи, подія АВ настає тоді і тільки тоді, коли настає або подія А, або подія В, або обидві події; подія АВ настає тоді і тільки тоді, коли настають обидві події А і В одночасно. Аналогічно визначаються суми і добутки кількох подій.

Означення 5. Протилежною подією Ā до події А називається теоретико-множинне доповнення \А, тобто подія, що складається з усіх подій, які не входять в А.

Таким чином, подія Ā відбувається тоді і тільки тоді, коли не настає подія А.

Означення 6. Події А та В називаються несумісними, якщо АВ=.

Означення 2 – 6 зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера-Венна. На цих діаграмах простір елементарних подій зображено у вигляді квадрата, а події – у вигляді кругів.

В А 

А В 

А В 

А Ā

А  В

АВ АВ АВ  АВ=

Властивості операцій над подіями:

1) АВ= ВА; АВ=ВА (комунікативні закони для додавання і множення)

2) (АВ)С=А(ВС); (АВ)С=А(ВС) (асоціативні закони додавання і множення)

3) (АВ)С=АСВС (дистрибутивний закон множення відносно додавання)

4 ) АВС=(АС)(ВС) (дистрибутивний закон додавання відносно множення)

5) АĀ=; АĀ=

6) АА=А; АА=А; А=; А=А; А=

Якщо АВ, ВС, то АС.

Приклад. Стрілець тричі стріляє по мішені. Описати: 1) простір елементарних подій; 2) подію А, яка полягає в тому, що буде одне попадання; 3) подію В, яка полягає в тому, що буде не менше двох попадань (два або три).

1. елементарні події: А₁ – попадання при першому пострілі, Ā₁ – промах при першому пострілі, А₂ – попадання при другому пострілі, Ā₂ – промах при другому пострілі, А₃ – попадання при третьому пострілі, Ā₃ – промах при третьому пострілі.

2. А = А₁Ā₂Ā₃Ā₁А₂Ā₃Ā₁Ā₂А₃

3. В=А₁А₂Ā₃А₁Ā₂А₃Ā₁А₂А₃А₁А₂А₃ .