§ 2. Критична область. Загальна методика побудови критичних областей

Всю множину значень статистичного критерію К можна розбити на дві підмножини, що не перетинаються А і Ā.

Значення статистичного критерію підмножини А  , при яких нульова гіпотеза приймається, називається областю прийняття гіпотези, а підмножина значень Ā, при яких гіпотеза Н₀ відхиляється – критичною областю.

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез формується так: якщо спостережуване значення критерію К_сп­ належить області прийняття гіпотези А – гіпотезу приймають, якщо К_сп­ належить критичній області Ā гіпотезу відхиляють.

Оскільки критерій К – одномірна випадкова величина, то всі її можливі значення належать деякому інтервалу. Тому область прийняття гіпотези А і критична область Ā також є інтервальними, а, значить, існують точки, котрі їх розділяють і називають критичними і позначаються k_кр.

Розрізняють односторонню (правосторонню чи лівосторонню) і двосторонню критичні області (див.рис.1).

Р ис. 1.

Правосторонньою називають критичну область, що визначається нерівністю К > k_кр, де k_кр – додатне число (рис. 1, а).

Лівосторонньою називають критичну область, що визначається нерівністю К < k_кр, де k_кр < 0 (рис. 1, б).

Двосторонньою називають критичну область, що визначається нерівністю К < k_1кр, К > k_2кр, де k₂ > k₁ (рис.1, в). зокрема, якщо критичні точки симетричні відносно нуля, двостороння критична область визначається нерівностями. Зокрема, якщо критичні точки симетричні відносно нуля, двостороння критична область визначається нерівностями К < - k_кр, К > k_кр, або К > k_кр (k_кр >0).

Перевірка статистичних гіпотез будь-якої природи здійснюється за такою схемою:

1. Формулюється статистична гіпотеза Н₀.

2. Вибирається статистичний критерій відповідно до сформульованої нульової гіпотези Н₀.

3. Залежно від гіпотези Н₀ і альтернативної Н₁ вибирається одностороння або двостороння критична область.

Щоб побудувати критичні області, необхідно знайти значення критичних точок.

В основі побудови критичної області лежить принцип практичної неможливості здійснитися малоймовірній випадковій події при одній спробі. Тому задається мала величина ймовірності  ( = 0,01;  = 0,05) (рівень значимості) критерію перевірки правильної гіпотези Н₀: на основі відомого розподілу ймовірності критерію К визначається за допомогою спеціальних таблиць (див. додаток 1) критична точка k_кр. По знайденому k_кр відповідно відбудеться лівостороння, правостороння або двостороння критична область.

4. За результатами вибірки обчислюється спостережене значення критерію К_сп.

5. Виходячи з вимоги, що при правильності гіпотези Н₀ ймовірність того, що К_сп потрапить у критичну область, має дорівнювати прийнятому рівню значимості , перевіряється статистична гіпотези.

Це твердження подають для лівосторонньої критичної області так:

Р(К < k_кр)= ,

для правосторонньої:

Р(К > k_кр)= ,

для двосторонньої критичної області:

Р(К < k_1кр) + Р(К > k_2кр) = .

На практиці двосторонню критичну область будують симетрично розміщену відносно нуля, розділяючи при цьому  порівну між кінцями критичних областей, тобто

Р(К < k_1кр) = Р(К > k_2кр) = /2.

Якщо К потрапляє у критичну область, а ця подія малоймовірна і вона все-таки здійснилася, то нульова гіпотеза Н₀ відхиляється. У протилежному разі – приймається.

Розглянемо декілька прикладів статистичної перевірки статистичних гіпотез.