Тема 7. Закони великих чисел та центральна гранична теорема

Збіжність послідовностей випадкових величин за ймовірністю та майже напевно. Нерівності Маркова та Чебишева. Закони великих чисел та умови їх виконання. Оцінювання відхилень статистичних частот за законом великих чисел Бернуллі. Слабка збіжність чи збіжність за розподілом. Центральна гранична теорема. Теорема Ляпунова для послідовностей незалежних однаково розподілених випадкових величин. Поняття про метод Монте-Карло. Застосування граничних теорем при формуванні теоретичної бази математичної статистики.

Тема 8. Основні поняття математичної статистики: вибіркові спостереження та вибіркові оцінки

Основні положення вибіркового методу. Вибірковий розподіл. Емпірична функція розподілу та гістограма. Вибіркові моменти. Статистичні оцінки та їх властивості. Збіжність статистичних оцінок - емпіричних характеристик за даними спостережень до теоретичних аналогів. Властивості емпіричної функції розподілу. Властивості гістограми. Властивості вибіркових моментів. Груповані дані вибіркових спостережень.

Тема 9. Методи параметричного та непараметричного оцінювання параметрів

Точкові оцінки параметричної сукупності розподілів. Методи знаходження оцінок: метод моментів і максимальної вірогідності. Порівняння точкових оцінок. Інтервальні оцінки. Загальний алгоритм побудови довірчих границь (інтервальних оцінок) певного рівня значущості для точкових оцінок. Інтервальні оцінки для нормальної статистичної моделі.

Тема10. Методи перевірки статистичних гіпотез

Загальний алгоритм перевірки статистичних гіпотез. Типи помилок при перевірці гіпотез і потужність критерію. Критерії узгодженості: критерій Колмогорова-Смірнова та Пірсона. Перевірка гіпотез про однорідність та незалежність. Критерії Стьюдента щодо перевірки гіпотез про значення середніх для нормальної статистичної моделі у випадку рівних (нерівних) дисперсій. Критерій (Хі-квадрат) про єдину дисперсію для нормальної статистичної моделі. Критерій Фішера про рівність (нерівність) двох дисперсій для нормальної статистичної моделі. Перетворення Фішера для перевірки гіпотез про взаємну незалежність.

Лекція 1. ВСТУП ДО ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. АЛГЕБРА ПОДІЙ. ПОНЯТТЯ ПРО АКСІОМАТИЧНУ ПОБУДОВУ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

§1. Випадкові події. Класифікація подій

В практичній діяльності часто зустрічаються явища, наслідки яких неможливо передбачити, тобто результат яких залежить від випадку. Такі явища називаються випадковими. Так, наприклад, при стрільбі результат кожного окремого пострілу буде випадковим. Проводячи експеримент над певним явищем і систематизуючи результати дослідження у вигляді графіка, можна переконатись, що при досить великій кількості експериментальних точок отримується не крива, а деяка смуга, тобто має місце випадкове розсіювання експериментальних точок.

При розв’язуванні практичних задач цими випадковими відхиленнями можна нехтувати, припускаючи, що в даних умовах досліду явище протікає цілком однозначно. Проявляється основна закономірність, властива даному явищу, тобто є можливість передбачити результат досліду по його вхідних умовах.

Математична наука, що вивчає загальні закономірності випадкових явищ незалежно від їх конкретної природи і дає методи кількісної оцінки впливу випадкових факторів на різні явища, називається теорією ймовірності.

В основі теорії ймовірності, як і в основі будь-якої науки, лежать деякі означення, первинні поняття. З допомогою цих понять дається логічне визначення наступних більш складних означень.

В якості одного з основних понять, якими оперує теорія ймовірності, є подія. Подією в теорії ймовірності називається будь-який факт, який може відбутись в результаті деякого досліду (випробовування).

Під випробовуванням розуміють здійснення певного комплексу умов, які можна відновити довільне число разів. Нове випробовування є повторенням попереднього при одних і тих же умовах (хоча про повну тотожність всього комплексу умов можна говорити лише наближено).

Ці поняття легко описати, розглянувши підкидання грального кубика, на гранях якого розміщені числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кожне підкидання при однакових умовах є випробовуванням, а випадання певного числа – подією.

Події прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту А, В, ... Наприклад, подія А – випадання грані з числом 1, В – числом 2 і т.д.

Для правильної орієнтації в теоремах теорії ймовірності необхідно проаналізувати існуючу класифікацію подій.

Якщо при всіх випробовуваннях розглядувана подія завжди відбувається, то вона називається достовірною (вірогідною).

Якщо при всіх випробовуваннях розглядувана подія ніколи не відбувається, то вона називається неможливою.

Подія, яка в результаті випробовування може відбутись, а може і не відбутись, називається випадковою.

Наприклад, достовірною є подія, яка полягає в тому, що при киданні грального кубика випаде ціле число очок. Неможливою – ірраціональне. А випадання певного числа із множини 1, 2, 3, 4, 5, 6 – подія випадкова.

Дві події А та В називають сумісними, якщо поява одної з них не виключає появи другої. Наприклад, підкидають два гральні кубики. Подія А – випадання 2 очок на першому кубику, подія В – випадання 4 очок на другому. А та В – події сумісні.

Дві події А та В називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу другої. Наприклад, стрілець робить постріл по мішені. Подія А – стрілець вибив 5 очок, подія В – стрілець вибив 8 очок. Події А та В – несумісні.

Множина подій А₁, А₂, ... А_n називається групою несумісних подій, якщо події, які входять в множину, попарно несумісні. Наприклад, робиться постріл по мішені. А₁ – попадання в десятку, А₂ – попадання в вісімку і т.д., А₅ – попадання у двійку, А₆ – промах. А₁, А₂, ...А₆ утворюють групу несумісних подій.

Множина подій називається групою сумісних подій, якщо сумісні хоча б дві події з цієї групи. Наприклад, робиться три постріли по мішені. А₁ – попадання в мішень при першому пострілі, А₂ - попадання в мішень при другому пострілі, А₃ – при третьому. А₁, А₂, А₃ утворюють групу сумісних подій.

Події А₁, А₂, ...А_n утворюють повну групу, якщо в результаті випробування обов’язково відбувається хоча б одна з них. На практиці часто зустрічається повна група несумісних подій, тобто коли в результаті випробування відбувається лише одна з цих подій.

Приклад 1. В ящику 10 кульок. З них 6 червоних, 4 білих, причому 5 кульок мають номери. Нехай подія А – наугад вийнята кулька червона, В – поява білої кульки, С – витягнута кулька з номером. Події А, В, С, утворюють повну групу сумісних подій.

Приклад 2. По цілі робляться три постріли Нехай подія А – промах, В – одне попадання, С – два попадання, Д – три попадання. Події А, В, С, Д утворюють повну групу несумісних подій.

Якщо дві події утвоюють повну групу несумісних подій, то їх називають протилежними, а подію, протилежну події А прийнято позначати через . Наприклад, подія А – здача студентом іспиту, подія - нездача іспиту.

Дві або декілька випадкових подій називають рівноможливими, якщо умови їх появи однакові, і немає підстав стверджувати, що яка-небудь з них в результаті випробування має більше шансів відбутись, ніж інша. Наприклад, випадання довільного числа очок від одиниці до шести при підкиданні грального кубика.