1. Дискретна випадкова величина та її закон розподілу ймовірностей

Дискретною випадковою величиною називається така величина, множина можливих значень якої або скінченна, або зліченна (множина, елементи якої можуть бути пронумеровані), або це така випадкова величина, що приймає лише окремі (ізольовані) одна від одної значення, які можна пронумерувати. Складемо числову модель такої випадкової величини.

Нехай несумісні події ₁, ₂, …_n утворюють повну групу. Введемо поняття випадкової величини таким чином: якщо відбувається подія _і, то випадкова величина Х набирає значення х_і (і= ). Отже Х є функція на множині подій ₁…_n (і= ), тобто Х(_і)=х_і.

Тепер, замість того, щоб говорити “відбулася подія _і”, ми скажемо “відбулася подія Х=х_і “. Нехай Р(_і) – ймовірність появи події _і Тепер цю ж ймовірність позначимо так: Р(Х=х_і)=р_і, тобто Р(_і)=Р(Х=х_і)=р_і.

Після такого означення випадкової величини Х, замість того, щоб говорити «маємо повну групу несумісних подій ₁, ₂,…_n з ймовірностями Р(₁), Р(₂),…Р(_n)», скажемо «маємо випадкову величину Х, яка набирає значень х₁, х₂,…х_n з ймовірностями р₁, р₂, ...р_n». При цьому .

Найпростішою формою опису випадкової величини є таблиця, яку називають рядом розподілу випадкової величини.

Х	х1	х2	. . .	хn
Р	р1	р2	. . .	рn

Отже законом розподілу дискретної випадкової величини називається співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними ймовірностями.

Випадкові величини надалі будемо позначати великими буквами латинського алфавіту Х, Y, Z, ..., а їх можливі значення – малими х, y, z,...

Для наочності ряд розподілу задають графічно: можливі значення випадкової величини відкладають на осі абсцис, а на осі ординат – відповідні ймовірності. Одержані точки з’єднують відрізками прямих і таку фігуру називають полігоном розподілу.

Запишемо закон розподілу для прикладу 1:

Х	1	2	3	4	5	6
Р

Прикладу 2 :

Х	0		1	. . .	N
Р				. . .

Прикладу 3:

Х	1	2		…	n	…
Р				…		…

2. Неперервна випадкова величина та її закони розподілу

Розглянутий закон розподілу є зручною формою для дискретної випадкової величини. Але, якщо розглянути, приклад (4), то бачимо, що значення випадкової величини – Х(ω) заповнюють цілий проміжок і перерахувати їх в таблиці неможливо. Крім того, ймовірність набути окреме значення, як пізніше буде з’ясовано, дорівнює нулю.

Тому для неперервної випадкової величини, тобто такої величини, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал (скінченний чи нескінченний) числової осі, природно поставити вимогу, щоб при будь-яких дійсних х₁, х₂ було визначено ймовірність того, щоб х₁≤Х<х₂ ; зокрема, для будь-якого дійсного числа х повинна бути визначена ймовірність того, що Х<х.

Тому визначимо таку характеристику розподілу, яку можна застосовувати для різних випадкових величин. Найбільш загальною формою закону розподілу випадкової величини Х є функція розподілу.

Означення 1. Функцією розподілу, або інтегральним законом розподілу, випадкової величини Х називається ймовірність виконання нерівності Х<х, розглядувана як функція аргументу х:

.

Із значення функції розподілу випливає, що вона існує для всіх випадкових величин: як дискретних, так і неперервних. Для дискретної випадкової величини Х, яка набирає значення х₁, х₂, …х_n функція розподілу буде мати вигляд:

, (1)

де символ х_і<х під знаком суми означає, що сума поширюється на всі ті можливі значення випадкової величини, які по своїй величині менші аргументу х. З виразу (1) випливає, що функція розподілу дискретної випадкової величини Х розривна і зростає стрибками при переході через точки можливих її значень х₁, х₂, …х_n .Причому величина стрибка рівна ймовірності відповідного значення.

Приклад. В прикладі 2 візьмемо . Побудувати функцію розподілу числа того, що подія відбулася.

Рішення. .

Х	0	1	2	3
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

Графік функції :

Властивості функції розподілу:

Властивість 1. Функція розподілу: є невід’ємна функція, значення якої не більше одиниці .

Дійсно , а .

Властивість 2. Ймовірність появи випадкової величини в інтервалі рівна різниці значень функції розподілу в кінцях інтервалу:

(2)

Дійсно, оскільки . Тому

.

Звідки .

Властивість 3. Функція розподілу випадкової величини є неспадна функція, тобто при .

.

Дійсно, з (2) випливає

, а .

Властивість 4. .

Дійсно, означення функції розподілу має простий геометричний зміст. Якщо розглядати випадкову величину як випадкову точку Х осі ох, яка в результаті випробування може зайняти те чи інше положення, то функція розподілу є ймовірність того, що випадкова точка Х в результаті випробування попаде лівіше точки х.

Тому при необмеженому переміщенні точки х вліво, попадання випадкової точки Х лівіше х в границі стає подією неможливою, тобто . Аналогічно, якщо , то попасти лівіше х в границі є подія достовірна, тобто .

Оскільки з допомогою функції розподілу можна знайти ймовірність появи випадкової величини в довільному інтервалі або довільній точці можливих значень для дискретної випадкової величини, то функція розподілу однозначно визначає закон розподілу випадкової величини.