23. Теоремы сложения вероятностей.

Теорема (сложения вероятностей несовместных событий) – Вероятность появления 1-го из 2-х событий, не важно какого, = сумме вероятностей этих событий P(A+B)=P(A)+P(B). Доказательство – Введем обозначения – n – общее число возможных элементарных исходов опыта, m₁ – число исходов благоприятствующих событию А, m₂ – событию В. . Следствие – Вероятность появления одного или нескольких попарно несовместных событий, не важно какого, = сумме вероятностей этих событий . Теорема – Сумма вероятностей событий , образующих полную группу =1, т.е. . Доказательство – Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность =1, то. Любые 2 события полной группы несовместны, значит можно применить теорему сложения – . Сравниваем оба равенства, получаем . Теорема – Сумма вероятностей противоположных событий =1, т.е. . Замечание – Если вероятность одного из 2-х противоположных событий =p, то вероятность другого события =q и получим p+q=1. Теорема (сложения вероятностей совместных событий) – Вероятность появления хотя бы одного из 2-х совместных событий = сумме вероятностей событий без вероятности их совместного появления P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

24. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Произведением P(A) и P(B) называют P(AB), состоящее в совместном появлении. Условной вероятностью P_B(A) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что P(B) уже наступило Теорема – Вероятность совместного появления 2-х событий = произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило . Доказательство – вывод формулы из условной вероятности. Следствие – Вероятность совместного появления нескольких событий = произведению событий на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последовательного события вычисляются в предположении, что предыдущие уже появились . Событие В независимое от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В = ее безусловной вероятности P_A(B)=P(B). Теорема – Вероятность совместного появления 2-х независимых событий = произведению вероятностей этих событий P(AB)=P(A)P(B). Следствие – Вероятность совместного появления нескольких независимых событий = произведению вероятностей этих событий.

25. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теорема – Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного несовместного события B₁,B₂,…,B_n, образующих полную группу = сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А . Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B₁,B₂,…,B_n, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно какое и них наступит, то B₁,B₂,…,B_n называют гипотезами. Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А – .