с1. Двойные интегралы, их свойства и вычисление в декартовых координатах.

Двойным интегралом от функции z=f(x,y) по области называется предел, к которому стремится интегральная сумма при неограниченном увеличении числа n-малых площадок при условии, что каждая из них стягивается в точку. . Теорема (о существовании) – Для всякой функции z=f(x,y), непрерывной в ограниченной замкнутой области, имеющей площадь , существует 2-ой интеграл. Свойства – 1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла; 2) 2-ой интеграл алгебраической суммы = алгебраической сумме 2-ых интегралов; 3) Если в области интегрирования имеет место неравенство , то и ; 4) Если в области интегрирования имеет место неравенство , то и ; 5) Если область интегрирования разбита на несколько частей то ; 6) Теорема (о среднем) – Пусть функция f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области σ, тогда в области σ существует такая точка P₀(x₀;y₀), что . Теорема – Пусть функция f(x,y) непрерывна в замкнутой прямоугольной D, тогда имеет место равенство . Пусть любая прямая || оси Оу пересекает границу области D не более, чем в 2-ух точках, тогда справедлива формула . Если область D определена неравенством и любая прямая || оси Ох пересекает границу области не более, чем в 2-ух точках, то .

2. Двойные интегралы в полярной системе координат.

. Теорема – Если преобразования x и y переводит область σ в область σ^* и если функции х и у имеют в области σ^* непрерывные частные производные 1-го порядка и ≠0 Якобиан I, то при условии существования 2-го интеграла справедлива формула замены переменных..

3. Тройные интегралы, их свойства и вычисление в декартовых координатах.

Если существует (интегральная сумма) и не зависит ни от способа разбиения V на малые тела , ни от выбора в каждом из них точки P_i(x_i;y_i;z_i), то его называют 3-ым интегралом от функции u=f(x;y;z) по области . Теорема (о существовании) – Для всякой функции u=f(x;y;z), непрерывной в ограниченной замкнутой области пространства, имеющей объем V, существует 3-ой интеграл. Свойства – 1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла; 2) 3-ой интеграл алгебраической суммы = алгебраической сумме 3-ых интегралов; 3) Если в области интегрирования имеет место неравенство , то и ; 4) Если в области интегрирования имеет место неравенство , то и ; 5) Если область интегрирования разбита на несколько частей то ; 6) Теорема (о среднем) – Если функция f(x;y;z) непрерывна в замкнутой ограниченной области V, то в этой области существует такая точка P₀(x₀;y₀;z₀), что ; 7) Если в области V – f(x;y;z)=1, то 3-ой интеграл численно = объему (V) области, т.е. . Пусть V – параллелепипед ), тогда . Пусть область V задана неравенствами , тогда .

4. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.

. . – Цилиндрические координаты (r, ϕ, z). Cферические координаты .

5. Приложения двойных и тройных интегралов.

2-ой интеграл - 1) Вычисление объемов – объем V криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью z=0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Oxy область σ - . 2) Вычисление площадей – Если положить f(x;y)≡1 всюду в области σ, то получаем выражение площади S области σ в виде 2-го интеграла 3) Вычисление массы пластинки – Масса плоской пластинки σ с плотностью – физический смысл 2-го интеграла. 4) Вычисление координат центра масс пластинки – , числители M_y и M_x соответственно – статистические моменты относительно Oy и Ох. 3-ой интеграл – 1) Вычисление объемов - . 2) Вычисление массы тела - . 3) Вычисление координат центра масс пространственного тела – , числители – статистические моменты материальной точки массы, относительно плоскостей OYZ, OXZ, OXY. Если рассматриваемое тело однородно, т.е. .

6. Определение криволинейного интеграла 1-го рода, свойства, вычисление, применение.

Кривая, заданная уравнениями x=x(t), y=y(t) – гладкая, если функции непрерывны и имеют непрерывные производные, не обращающиеся в 0 одновременно, т.е. кривая в каждой точке имеет касательную. Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков – кусочно-гладкая. (интегральная сумма). Если существует предел интегральной суммы, независящий ни от способа разбиения дуги на части , ни от выбора точек (x_i;y_i) в каждой из них, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода по дуге от функции f(x;y) – (то же самое и с 3-мя координатами). – длина i-той части . Вычисление – 1) В Декартовых координатах – ; 2) Параметрически – . Свойства – 1) Линейность - ; 2) Аддитивность – Если кусочно-гладкая кривая состоит из конечного числа гладких дуг ; 3) Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирование – ; 4) Оценка модуля интеграла – ; 5) где L – длина дуги; 6) Теорема (о среднем) – Если f(x;y) непрерывна на кривой , то существует точка кривой такая, что . Применение – 1) Вычисление длины дуги кривой ; 2) Вычисление массы материальной дуги – ; 3) Вычисление координат центра тяжести материальной дуги – .