10.4.2. Модели цензурированных выборок

Напомним, что в  случае цензурирования зависимой переменной y_t  вместо ее значений выше (или ниже) определенного уровня рассматривается сам этот  уровень.

Например, если спрос на билеты существенно превышает предложение, то за уровень спроса принимается количество проданных билетов (цензурирование сверху). В этом случае распределение случайной величины может быть представлено в виде сочетания дискретного и непрерывного распределений (см. рис. 10.9).

 

 

Рис. 10.9. Распределение, цензурированное “сверху”

 

Подходы к исследованию цензурированных и усеченных выборок очень похожи. Также обычно предполагают, что случайная переменная у имеет нормальное распределение.

Покажем, как изменятся математическое ожидание и дисперсия случайной переменной у, если выборка ее значений цензурируется снизу.

Введем в рассмотрение новую случайную переменную у^*, такую, что

если у^*b, то у=b;

если у^*b, то у=у^*,                         (10.153)

 

где b – точка цензурирования.

Если у^*N[,²], то математическое ожидание и дисперсия цензурированной случайной величины y соответственно равны^*

 

M[y]=b+(1–)(+);                  (10.154) 

D[y]=²(1–)[(1–)+(–)²],              (10.155)

где

[( b–)/]=()=P(у^* b)=;                 (10.156)

 =/(1–);                              (10.157)

 =²–.                                (10.158)

Цензурированная модель (tobit-модель).

Для описания зависимости цензурированной переменной y_t от влияющих на нее факторов обычно используется так называемая tobit-модель.

Tobit-модель исходит из того, что цензурированная переменная y_t   описывается следующим выражением:

 

y_t=x_t+_t.                            (10.159)

 

где y_t   – наблюдаемые значения зависимой переменной (например, либо фактические расходы на отдых за границей, либо 0); x_t  – вектор независимых переменных, влияющих на зависимую переменную y_t,  – вектор параметров; _t  – ошибка модели.

Далее tobit-модель предполагает, что цензурированным значениям y_t  (т. е. y_t=0; b=0 – точка цензурирования)  соответствует неположительное произведениеx_t (x_t0); а нецензурированным  значениям y_t   – положительное (x_t0).

Из выражения (10.159) следует, что условное математическое ожидание переменной у_t   по факторам x_t   определяется как

 

   M[у_t]=x_t.                           (10.160)

 

Математическое ожидание у_t   с учетом цензурирования (т. е. M[у_t^цен]) для точки цензурирования b=0 определяются следующим образом (см. выражение (10.154)):

 

где

 

В соответствии с выражением (10.160) маржинальные эффекты факторов x_t  для математического ожидания переменной у_t   (без учета цензурирования) определяются как

 

 

В соответствии с выражением (10.161) маржинальные эффекты факторов x_t  для математического ожидания переменной у_t  с учетом цензурирования могут быть представлены в следующем виде:

 

 

Заметим, что tobit-модель предполагает, что изменение факторов x_t  приводит к тому, что вероятность P(y_t0) и математическое ожидание М(y_t|y_t0) обязательно меняются в одинаковом направлении. Действительно, согласно выражению (10.156) вероятность того, что у_t0 определяется как

 

P(у_t0)=P(x_t 0)=(x_t /).               (10.165)

 

Соответственно маржинальный эффект факторов x_t  для вероятности P(у_t0) может быть представлен в следующем виде:

 

                                 P(y_t0)/х_t=(x_t).                  (10.166)

 

Если коэффициент _i  положителен, то согласно выражениям (10.164) и (10.166) с увеличением фактора х_it   (i=1,2,..., n; t=1,2,..., T) увеличивается как математическое ожидание М(y_t|y_t0), так и вероятность P(y_t0), и, наоборот, при отрицательном _i  с ростом фактора х_it   эти показатели уменьшаются.

Вместе с тем заметим, что эффект одновременного увеличения математического ожидания и вероятности при увеличении некоторого независимого фактора х_i на практике может и не иметь место. В частности, как показали Фин и Шмидт (Fin and Schmidt, 1984), независимая переменная х_i, увеличивающая вероятность нецензурированного наблюдения (P(y_t0)), не всегда увеличивает и математическое ожидание переменной (М(y_t|y_t0)). В качестве примера они приводят потери от пожаров в зданиях. Вероятность возникновения пожара в старом здании выше, следовательно P(y_t0)/х_it0 (х_it – возраст t-го здания), но так как старое здание стоит дешевле, то и пожар в нем приносит меньше убытков, т. е. М(y_t|y_t0)/х_it0. Таким образом, в данной задаче предполагается, что коэффициент _i  при факторе “возраст здания” имеет разные знаки в функциях вероятности и математического ожидания. В рамках tobit-модели это учесть невозможно.

Для описания процессов, в рамках которых предположение об одинаковом характере маржинального эффекта математического ожидания и вероятности не выполняется, была предложена более общая модель, являющаяся сочетанием одномерной probit-модели и усеченной регрессии (для нецензурированных значений зависимой переменной).

На основе probit-модели определяется вероятность нецензурированного (или цензурированного) наблюдения при данном наборе факторов x_t.

 

P[у_t0]=(x_t);  z_t =1,

P[у_t=0]=1–(x_t); z_t =0,                 (10.167)

 

где (x_t) – интегральная функция закона нормального распределения, определяющая вероятность нецензурированного наблюдения;   – вектор параметров модели, z_t  – переменная-индикатор, принимающая значение 1 для нецензурированного наблюдения и значение 0 – для цензурированного.

Далее на основе модели усеченной регрессии определяется математическое ожидание нецензурированного наблюдения. В соответствии с выражением (10.150) математическое ожидание нецензурированной переменной может быть представлено в следующем виде:

 

M[у_t |z_t =1]=x_t +_t.                      (10.168)

 

Заметим, что если =/,  то модель (10.167)–(10.168) сводится к  tobit-модели.