12.3. Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном фоне

При случайном прогнозном фоне обычно предполагается, что значения независимых факторов в будущие моменты времени T+k являются случайными величинами, которые можно представить в виде суммы их математических ожиданий и  случайных ошибок

 

 

При этом дисперсии и ковариации ошибок х_i,T+1, х_j,T+1, в общем случае предполагаются известными, и математические ожидания ошибок M[х_i,T+1]=0; i,j=1,...,n; ²(х₀)=M[х₀]=0 в силу тождества х₀1.

Тогда, например, для момента Т+1 истинное значение прогноза определяется следующим выражением:

 

 

Далее обычно выдвигается вполне реалистическое предположение о независимости ошибок оценок параметров модели а_i  и соответствующего прогнозного фона х_i,T+1. Их независимость, в частности, является следствием того, что параметры модели и прогнозный фон обычно определяются в ходе разных, не связанных между собой исследований.

После раскрытия скобок в выражении (12.27) несложно заметить, что расчетное прогнозное значение   (математическое ожидание процесса) определяется выражением (12.11), а его ошибка у_T+1  – выражением следующего вида:

 

 

где х_0, T+11, х_0,T+10.

Дисперсия такой ошибки определяется на основании известного выражения ²(у_T+1)=M[у_T+1]² с учетом некоторых дополнительных предположений, касающихся свойств ошибки модели. В случае ее гомоскедастичности и отсутствия автокорреляционных связей, т. е. при _²=const, Сov()=_²E, имеет место и независимость ошибок коэффициентов модели а_i и ошибки _T+1. Независимость ошибки прогнозного фона и ошибки _T+1  практически очевидна.

В этом случае, возводя в квадрат правую часть выражения (12.28) и беря математическое ожидание от полученного выражения после несложных вычислений, получим

 

 

где cov(х_i,T+1, х_j,T+1) – ковариация случайных i-го и j-го значений прогнозного фона; при i=j, cov(a_i, a_j)=²(a_i,); cov(х_i,T+1, х_j,T+1)=²(х_i,T+1); cov(a_i, a_j)=cov(a_j, a_i) и cov(х_i,T+1, х_j,T+1)=cov(х_j,T+1, х_i,T+1); х_0,T+1=0; ²(х_0,T+1)=0; cov(х_i0,T+1, х_j,T+1)=0, j=1,...,n.

При выводе выражения (12.29) также учтено, что математические ожидания сомножителей типа а_iх_i,T+1х_j,T+1a_j,  х_i,T+1а_ia_jх_j,T+1,а_iх_j,T+1a_jх_i,T+1 равны нулю в силу введенных предположений о равенстве нулю математических ожиданий рассматриваемых ошибок и независимости ошибок а_i, х_j,T+1, j=1,...,n.

Для получения выражения, определяющего дисперсию прогноза   при случайном прогнозном фоне и свойствах ошибки модели, отличных от белого шума, представим выражение (12.28) в векторной форме записи:

 

 у_T+1=х_T+1a+х_T+1a+ х_T+1a+_T+1.           (12.30)

 

Далее, как и в разделе 12.2, выразим векторы оценок коэффициентов модели и их ошибки в векторно-матричной форме записи a=(XX)^–1Xy, a=(XX)^–1X, где  – вектор истинной ошибки модели, X – матрица наблюдаемых значений независимых факторов, y – вектор наблюдаемых значений зависимой переменной на интервале (1,Т). Получим

 

у_T+1=х_T+1(XX)^–1X+х_T+1(XX)^–1Xy+

+х_T+1(XX)^–1X+_T+1.                       (12.31)

 

Дисперсию ошибки прогноза с учетом оговоренных выше предположений о независимости и свойствах ошибок а_i, х_j,T+1, i,j=0,..., n; определим как математическое ожидание от квадрата этой ошибки

 

²( )=M[y_T+1] ²=х_T+1(XX)^–1 XM[]X(XX)^–1х_T+1+

+уX (XX)^–1M[х_T+1, х_T+1] (XX)^–1 Xy +M[²_T+1]+  

+M[х_T+1(XX)^–1 XM[]X(XX)^–1х_T+1]+

+ х_T+1(XX)^–1 XM[_T+1].                    (12.32)

 

В предположении, что M[]=_²E и независимости ошибок _T+1  и _t, t=1,..., Т имеем

 

1) M[х_T+1(XX)^–1 XM[]X(XX)^–1х_T+1]=

=_² M[х_T+1(XX)^–1х_T+1]= 

2) M[_T+1]=0.

 

В этом случае несложно показать, что выражение (12.32) приобретает  следующий вид:

 

²( )=х_T+1Сov(a)х_T+1+aCov(х)a+

 M[х_T+1Сov(a) х_T+1]+_²,                      (12.33)

 

где Cov(х) – ковариационная матрица вектора ошибок прогнозного фона;

 

 M[х_T+1Сov(a) х_T+1]= 

 

Несложно заметить, что выражения (12.29) и (12.33) эквивалентны.

При наличии у ошибки  модели только свойства гетероскедастичности последнее слагаемое в правой части выражения (12.32) обращается в нуль, а ковариационная матрица ошибки имеет следующий вид:

 

 

При наличии автокорреляционных связей у ошибки модели вектор M[_T+1] имеет специфический вид, определяемый характером этих связей.