12.4. Прогнозирование на основе моделей временных рядов

Рассмотрим особенности разработки прогнозов стационарного процесса – временного ряда, описываемого обобщенной моделью авторегрессии-скользящего среднего порядка (k,m) (выражение (6.87)):

 

 

где   в общем случае представляет собой центрированную переменную с математическим ожиданием .

Таким образом, данную модель можно переписать в несколько измененном виде:

 

и после очевидных упрощений – в следующем виде:

 

 

Предположим, что оценки математического ожидания ошибок и оценок коэффициентов модели были получены на основе временного ряда у₁, у₂,..., у_T. 

Оценка точечных прогнозов.

Из выражения (12.35) следует, что прогнозное значение показателя у_T(1), т. е. на один шаг вперед, может быть определено как условное математическое ожидание переменной у_T   при известном прогнозном фоне, определенном предшествующими значениями у_T, у_T–1   и “эмпирическими” (фактическими) ошибками 

 

 

при известных значениях оценок коэффициентов _i, _j, i=1,...,k; j=1,...,m.

Подставляя вместо переменных у_t–r, ошибок  _t–r и коэффициентов _i, _j   соответствующие значения и оценки, на основе выражения (12.35) получим

 

 

где   – оценка математического ожидания процесса у_t.

Заметим, что в выражении (12.37) отсутствует ошибка  _T+1, поскольку ее математическое ожидание равно нулю, как и всех ошибок будущих моментов времени, M[ _T+n]=0, n=1,2,... .

Таким образом, прогноз на два шага вперед уде рассчитывается как

 

 

а прогнозное значение на l шагов вперед, где lт вообще формируется без учета значений ошибок модели

 

 

Несложно видеть, что, например,  для моделей авторегрессии АР(k) выражение (12.39) определяет прогнозное значение для периода упреждения любой глубины. В частности, для модели АР(1) при прогнозировании уже на один шаг вперед получим

 

 

В свою очередь, ошибка модели скользящего среднего первого порядка СС(1) учитывается только в прогнозе на один шаг вперед

 

 

Все следующие прогнозы на основе этой модели рассчитываются по одной и той же формуле:

 

 

Для АРСС(1,1) математическое ожидание прогноза на 1 шаг вперед представляется в следующем виде:

 

 

а на последующие моменты времени уже в виде

 

 

Из изложенного материала вытекает, что разработка прогнозов стационарных процессов, описываемых моделями временных рядов типа АРСС(k, m) для любого периода упреждения l основана на достаточно несложной итеративной процедуре расчета последовательных прогнозных значений у_T(1), у_T(2),..., у_T(l) по построенному варианту модели.

Проблемы оценки дисперсий прогнозов.

Вместе с тем оценка дисперсий таких прогнозов представляет собой достаточно сложную проблему, корректное решение которой в аналитическом виде еще не получено. Раскроем суть этой проблемы с учетом результатов, полученных в разделах 12.2 и 12.3. В соответствии с ними, дисперсия прогноза l на точек вперед с использованием модели АРСС(k, m) должна быть определена как математическое ожидание квадрата ошибки прогноза:

 

 

где символ х означает ошибку переменной х. В случае детерминированных величин (дисперсия равна нулю) их ошибка должна быть принята равной нулю.

Так, например, дисперсия прогноза процесса, разрабатываемого на один шаг вперед с помощью модели АРСС(1,1) в этом случае должна определяться на основе следующего выражения:

 

 

 

Дисперсия прогноза на два шага вперед в этом случае будет иметь следующий вид:

 

 

В выражениях (12.46) и (12.47) учтено, что ошибка показателей у_T   и   равна нулю, а также, что математическое ожидание ошибки _T+1  равно нулю.

Теоретически, при известных дисперсиях оценок коэффициентов моделей АРСС(k, m),  их взаимных ковариаций, а также дисперсий предыдущих прогнозных значений у_T(l–r), r=1,2,... и дисперсий ошибки   с  помощью выражения (12.45) оценку дисперсии прогноза ²(у_T+l) определить не слишком сложно, хотя ее математическое выражение и будет выглядеть достаточно громоздко. Однако следует иметь в виду, что, если с помощью рассмотренных в главе VI методов дисперсии (и ковариации) прогнозов у_T+l–r, ошибки , определить возможно, то дисперсии коэффициентов модели оценить можно лишь приблизительно и то, используя достаточно сложные методы. Это вызвано тем, что оценки моделей АРСС(k, m) определяются либо на основе выборочных значений коэффициентов автокорреляции рассматриваемых процессов (уравнения Юла-Уокера, нелинейные методы оценки коэффициентов скользящего среднего), либо с использованием нелинейных методов оценивания.

В первом случае дисперсии оценок ставятся в зависимость от показателей точности выборочных коэффициентов автокорреляции, которые к тому же сами определяются лишь приблизительно (см. главу VI). Так, например, если для модели АР(1) дисперсию параметра a₁, равного r₁,  можно (с известной погрешностью) приблизительно считать равной 1/Т, ²(a₁)=²(r₁)=1/Т, где r₁  – первый выборочный коэффициент автокорреляции рассматриваемого процесса, то уже для модели АРСС(1,1) этот коэффициент равен a₁=r₂/r₁  и даже при известных дисперсиях оценок коэффициентов автокорреляции r₁ и r₂ показатель ²(a₁) оценить достаточно сложно. При этом с увеличением размерности модели АРСС(р,q) проблема оценки дисперсий ее коэффициентов, а тем более их ковариаций значительно осложняется.

Нелинейные методы оценки параметров модели также в явном виде не позволяют определить их показатели точности.

Оценки дисперсий прогнозов при детерминированных параметрах моделей.

В этой связи, в научной литературе обычно рассматриваются методы оценки дисперсий прогнозов процессов, представленных в виде временных рядов, не учитывающие ошибки оценок коэффициентов, описывающих их моделей. Таким образом, эти методы учитывают специфику моделей с детерминированными параметрами. Очевидно, что эти методы не в полной мере адекватны условиям поставленной задачи. Однако они характеризуются определенной математической строгостью и при небольших ошибках (дисперсиях) коэффициентов моделей позволяют получить относительно точные оценки дисперсий прогнозов, а следовательно, и их доверительных интервалов.

Эти методы можно рассматривать как следствие более общих результатов теории прогнозирования, Г. Валдом, Н.Винером, А. Колмогоровым, П. Уиттлом. В их основе лежит идея представления прогнозного значения рассматриваемого процесса, описываемого моделями типа АРСС(k, m), в виде условного математического ожидания, зависящего от известных в моменты Т, Т–1,... его значений в прошлом, и ошибки, выражаемой текущим и предшествующими значениями “белого шума”. В целях избежания излишней громоздкости рассмотрим эти методы на примере наиболее простых вариантов моделей временных рядов первого порядка.

Модель АР(1).

В соответствии с выражением (12.34) представим модель АР(1) в виде следующего уравнения:

 

 

которое для наших целей более удобно представить в следующем виде:

 

Из выражения (12.48) вытекает, что прогноз на один шаг вперед, т. е. на момент Т+1, является случайной величиной, определяемой следующим выражением:

 

 

Математическое ожидание этого прогноза имеет следующий вид:

 

Ошибка такого прогноза определяется как

 

 

При определении дисперсии прогноза различие между параметром ₁ и его оценкой a₁ во внимание не принимается. В результате имеем

 

 

Для момента Т+2 прогноз определяется по следующей схеме:

 

Из выражения (12.53) следует, что математическое ожидание этого прогноза имеет следующий вид:

 

 

а ошибка  у_T(2) равна

 

 

В свою очередь, с учетом независимости _T+2 и _T+1 из выражения (12.54) следует, что дисперсия прогноза на момент Т+2 оценивается согласно следующему выражению:

 

 

Продолжая схему прогнозирования, определенную выражениями (12.48)-(12.55) несложно видеть, что прогноз на l шагов вперед на основе модели АР(1) представляется в следующем виде:

 

Его математическое ожидание определяется выражением

 

 

а ошибка и ее дисперсия – соответственно выражениями

 

 

Из выражений (12.57), в частности, вытекает, что так как a₁1, то c ростом l математическое ожидание прогноза стремится к математическому ожиданию стационарного процесса

 

 

а дисперсия прогноза стремится к дисперсии процесса

 

 

поскольку из выражения (12.59) следует, что

 

 

Модель СС(1).

Прогнозируя на момент Т+1 на основе модели СС(1)

 

 

получим следующее прогнозное значение рассматриваемой переменной y:

 

 

Поскольку математическое ожидание ошибки _T+1 равно нулю, а ее значение в момент времени Т известно, то математическое ожидание такого прогноза равно

 

 

где  – оценка ошибки модели в момент Т.

Из (12.61) и (12.62) вытекает, что  при неразличимости параметра ₁  и его оценки b₁ ошибка такого прогноза равна _T+1.

 

а его дисперсия – 

 

 

Прогноз на два шага по модели СС(1) определяется выражением

 

Его математическое ожидание равно   –

 

 

Ошибка такого прогноза равна

 

 

а ее дисперсия определяется следующим выражением:

 

 

Несложно заметить, что выражение (12.68) определяет величину дисперсии ошибки прогноза, полученного с использованием модели СС(1), на любое количество шагов вперед, поскольку сама ошибка представляется в следующем виде:

 

 

 

 

Модель АРСС(1,1).

Модель АРСС(1,1), являющуюся комбинацией рассмотренных выше моделей АР(1) и СС(1), представим в следующем виде:

 

Несложно заметить, что прогнозное значение переменной у_T+1  определяется следующим выражением:

 

 

Математическое ожидание такого прогноза с учетом равенства нулю математического ожидания ошибки _T+1 и известного значения ошибки    равно

 

 

Прогнозируя на момент Т+2, получим следующие выражения, определяющие прогнозное значение рассматриваемой переменной и его математическое ожидание соответственно:

 

 

Из выражений (12.72) и (12.73) вытекает, что оценка дисперсии прогноза на два шага вперед с использованием модели АРСС(1,1) может быть представлена в следующем виде:

 

 

Продолжая последовательно процедуру прогнозирования  на момент Т+l, получим следующие выражения прогнозного значения случайной величины и ее математического ожидания:

 

 

 

Соответственно из выражений (12.75) и (12.76) вытекает, что оценка дисперсии этой ошибки (дисперсии прогноза) может быть определена следующим образом:

 

 

Несложно показать, что l оценка дисперсии прогноза у_T+l стремится к следующему пределу:

 

 

По аналогичной схеме в предположении о детерминированном характере показателей моделей могут быть получены выражения, определяющие оценки дисперсий прогнозов моделей временных рядов и других модификаций, включая модели финансовой эконометрики.