12.2. Методы оценки дисперсии прогноза при детерминированном прогнозном фоне

Рассмотрим, не прибегая к излишней математической строгости, сначала общий подход к оценке дисперсии прогноза  . Без ограничения общности предположим, что прогнозы    получены с использованием линейной эконометрической модели, ошибка которой характеризуется отсутствием автокорреляционных связей.

В соответствии с процедурой разработки эконометрического прогноза, рассматриваемое прогнозное значение зависимой переменной у, например, в момент времени Т+1, можно представить как случайную величину, определяемую по линейной модели типа (1.2) с учетом того факта, что ее параметры являются случайными величинами, а значения независимых факторов х_i, T+1, i=1,2,..., n; – детерминированные величины:

 

 

где _i, i=0,1,..., n – коэффициенты эконометрической модели, рассматриваемые как случайные величины; _T+1  –  случайная ошибка модели в момент Т+1. Представим коэффициенты модели _i   в виде суммы их соответствующих оценок, являющихся математическими ожиданиями, и ошибок

 

 

где  математическое ожидание  а_i  определено согласно используемому методу, например, МНК (см. выражение (2.8)), а характеристики ошибок а_i  определены как элементы вектора а=(XX)^-1X (см. выражение (2.9)).

Подставим выражение (12.9) в (12.8). В результате получим

 

где показатель

 

представляет собой математическое ожидание прогноза, а показатель

 

 

характеризует ошибку прогноза.

Ее дисперсия может быть определена согласно классическому выражению   в предположении о независимости ошибки модели_T+1 и ошибок коэффициентов модели а_i, i=0,1,..., n; следующим образом:

 

где _² – оценка дисперсии ошибки модели    – дисперсия оценки а_i,  а cov(а_i, а_j) – ковариация оценок параметров а_i   и а_j. Их значения определены как элементы ковариационной матрицы _e²(ХХ)^–1; х_0,T+1 1 (см. выражение (2.18)).

Еще раз отметим, что выражение (12.13) получено в предположении о независимости ошибки модели _T+1  в момент Т+1 и ошибок коэффициентов а_i, которые согласно выражению (2.9) являются линейными функциями выборочных ошибок модели _t, t=1, 2,..., Т.

Выражение (12.13) может быть представлено в матричной форме записи следующим образом:

 

 

где х_T+1=(1, х_1,T+1,..., х_n,T+1) – вектор-строка детерминированных уровней прогнозного фона, представляющего собой набор значений независимых факторов в моменты Т+1.

Приведем также несколько более строгое доказательство выражения (12.14). Для этого запишем расчетное значение прогноза   в векторной форме:

 

Аналогично представим истинное значение прогноза у_T+1

 

 

где  – вектор-столбец значений параметров модели; _T+1  – значение ошибки истинного прогноза.

С учетом представленных выражений ошибку прогноза согласно (12.6) выразим в следующем виде:

 

 у_T+1=у_T+1– =_T+1+х_T+1–х_T+1a=

=_T+1+х_T+1–х_T+1(XX)^–1 Xy.                       (12.17)

 

Подставляя в (12.17) вместо вектора наблюдаемых значений зависимой переменной y его выражение y=X+, получим

 

 у_Т+1=_T+1+х_T+1–х_T+1(XX)^–1 X(X+)=

=_T+1+х_T+1– х_T+1– х_T+1(XX)^–1 X=

=_T+1– х_T+1(XX)^–1 X.                    (12.18)

 

С учетом (12.18) дисперсия ошибки прогноза   определяется следующим выражением:

 

²( )=M[y²_T+1] = M[²_T+1]–2 х_T+1(XX)^–1 XM[_T+1]+

+ х_T+1(XX)^–1 XM[]X(XX)^–1х_T+1.             (12.19)

 

При справедливости предположений о независимости ошибки _T+1 и вектора ошибок модели , гомоскедастичности и отсутствии автокорреляционных связей у вектора ошибки модели  имеем

 

M[_T+1]=0;

M[]=_²E.

 

В этом случае с учетом того, что M[²_T+1]=_²  легко показать, что выражение (12.19) преобразуется в выражение (12.14), с учетом замены _² на _e².

Заметим, что выражение (12.19) определяет все случаи, отражающие возможные свойства ошибки эконометрической модели. В частности, когда у этой ошибки имеются автокорреляционные связи, например, первого порядка, т. е. _t=_t–1 +v_t, v_t N(0, _v²), Cov(v)=_v²E  выражение (12.19) приобретает следующий вид:

 

²( )=_²–2_²х_T+1(XX)^–1XR+

+х_T+1(XX)^–1X Cov()X(XX)^–1х_T+1,         (12.20)

 

где вектор-столбец R=[, ², ³,..., ^T+1];

 

 

где  – коэффициент автокорреляции первого порядка.

Заметим также, что для такой модели математическое ожидание прогноза  =M[y_T+1] имеет следующий вид:

 

M[y_T+1]= M[х_T+1+_T+1]= M[х_T+1+_T +v_T]= х_T+1+_T. (12.21)

 

Выражая ошибку модели в момент Т _T   через ее оценку  е_T

 

_T =е_T – х_Tа                                   (12.22)

 

и подставляя выражение (12.22) в (12.21), с учетом замены коэффициента  на его выборочное значение r и вектора   на вектор a на практике получим

= r y_T+(х_T+1– х_T)a.                 (12.23)

 

Несложно показать, что в этом случае расчетное значение прогноза в момент Т+k будет определяться следующим выражением:

 

=х_T+ka+ r^ke_T.                       (12.24)

 

При наличии у ошибки модели только свойства гетероскедастичности выражение (12.19) приобретает следующий вид:

 

²( )=_²+х_T+1(XX)^–1 XCov()X(XX)^–1х_T+1,         (12.25)

 

где

 

а _t²  – дисперсия ошибки модели в момент t.