10.2. Модели с фиктивными независимыми переменными

Фиктивные переменные вводятся в эконометрическую модель обычно с целью учета воздействия качественных аспектов на закономерности развития рассматриваемых процессов. К таким аспектам, например, относится различие в условиях развития процессов, предопределивших разницу их уровней в разные периоды времени при сохранении их общих тенденций (см. рис. 10.1).

На рис. 10.1 показано, что в период (0, T₁) для развития процесса была характерна тенденция (1), а в период (T₁+1, T₂) – тенденция (2) (например, до дефолта и после дефолта, если дефолт не повлиял на характер самой тенденции).

При этом динамические характеристики этих тенденций (темпы роста, первая производная) совпадают.

                    у

                                                 2

                                                    

              

 

 

                           1

                                                                               t

                    0             T₁   T₁+1            T₂

 

Рис. 10.1. Пример различий в условиях развития процесса

 

Если не принимать во внимание отмеченные различия и попытаться построить единую, обобщенную модель для периода (0, T₂), то , очевидно, что ее уравнение будет соответствовать пунктирной линии, проходящей между сплошными линиями, характеризующими реальные тенденции процесса в рассматриваемых периодах.

Из рис. (10.1), в частности, также вытекает, что, если эконометрическая модель строится только на основе информации первого периода, то ее уравнение будет иметь следующий вид: 

 

у_t=₀₁f(,x)+ _t¹,                             (10.26)

 

а, если только по информации второго периода, то

 

у_t=₀₂f(,x)+ _t²,                             (10.26)

 

Отличаются эти выражения, если не принимать во внимание возможные различия в их ошибках, только величиной свободного коэффициента, т. е. ₀.

Если ввести фиктивную переменную x_0i, i=1,2, со следующими свойствами:

 

х₀₁=      ^{1, в первый период;}

                                                   0,  во второй период;

 

х₀₂=       ^{0, в первый период;}

                                                    1,  во второй период;

 

то выражения (10.26) и (10.27) могут быть объединены в рамках одной модели следующего вида:

 

у_t=₀₁ х₀₁₀₂х₀₂f(,x)+_t.                 (10.26)

 

Матрица исходных данных для такой модели будет иметь следующий вид:

 

 

X_it – матрица значений основных независимых переменных модели, i=1,2,..., п; t=1,2,....,Т₂.

Очевидно, что в этом случае условное математическое ожидание переменной у будет иметь следующий вид:

 

M[y/ х₁1, х₂0, X_it]=₀₁f(,x) для t=1,2,..., Т₁;

и

M[y/ х₁0, х₂1, X_it]=₀₂f(,x) для t= Т₁+1,..., Т₂;

 

Заметим, что для рассматриваемого случая может быть предложена и другая модификация модели (10.28), например, с одной фиктивной переменной (пустьх₀₂), но содержащая свободный член. Ее вид определен следующим уравнением:

 

у_t=₀ ₀₂х₀₂f(,x)+_t,                 (10.26)

 

и матрица исходных данных для такой модели примет следующий вид:

 

 

Вместе с тем, несложно увидеть, что введение свободного члена в модели (10.28) невозможно, поскольку следствием этого является появление единичного столбца в матрице (10.29), что влечет за собой ее необратимость, поскольку единичный столбец представляет собой линейную комбинацию столбцов значений фиктивных переменных.

Модели типа (10.28) и (10.30) легко могут быть сформированы и на случай большего числа групп фиктивных переменных. Они могут выражать определенные временные периоды (например, с целью учета сезонности), статус объекта и т. п. В частности, в рассматриваемой в первой главе модели заболеваемости такие переменные могут выражать время года (весна, лето, осень зима), половозрастную группу населения (взрослые и дети, мужчины и женщины). В этом случае вводятся две группы переменных – временная и половозрастная (всего восемь). Обозначим эти переменные как s₁, s₂, s₃, s₄; q₁, q₂, q₃, q₄. При этом

 

 s_i=        ^{1, если наблюдения относятся к i-му времени года, i=1,2,3,4;}

         0,  в остальных случаях;

 

 q_j=      ^{1, если наблюдения относятся к j-й половозрастной группе j=1,2,3,4;}

         0,  в остальных случаях;

 

Тогда эконометрическая модель типа (10.28), описывающая заболеваемость в регионе в зависимости от условий жизнедеятельности, времени года и половозрастной группы индивидуума, может быть представлена в следующем виде:

 

 

где х_it – факторы жизнедеятельности.

Оставление свободного члена в модели заболеваемости, как и в модели (10.30), приведет к уменьшению числа ее фиктивных переменных. В этом случае выражение (10.32) преобразуется к виду:

 

 

При этом для первого временного сезона и первой половозрастной группы получим ₀=₀₁+₀₁.

Заметим, что модели типа (10.32) и (10.33) корректны, если все группы населения одинаково реагируют на изменение условий жизнедеятельности и, кроме того, заболеваемость характеризуется параллельными сдвигами со сменой времени года.

В этой связи модели типа (10.28), (10.30) могут быть интерпретированы как сплайн-функции, у которых зависимая переменная у одинаково и “монотонно” реагирует на изменения “количественных” независимых переменных х_i  на всех рассматриваемых временных интервалах и скачкообразно меняется при смене интервала.

Вместе с тем, фиктивные переменные могут быть применены при построении сплайн-функций любой модификации. Рассмотрим следующий пример. Пусть зависимая переменная у характеризует уровень дохода, а единственная переменная х – возраст индивидуума.

Предполагается, что в различных возрастных группах доход определяется специфическими формами зависимости следующего вида:

 

Введем фиктивные переменные d₁ и d₂, такие что d₁=1, если х20, и d₂=1, если х30. Тогда три уравнения из выражения (10.34) могут быть объединены в одно, следующего вида:

 

Заметим, что коэффициенты наклона на рассматриваемых участках согласно выражению (10.35) определяются следующим образом:

 

а свободные члены должны удовлетворять условию равенства функции у соответствующих участков х=20 и х=30. Исходя из этого получим

 

 

Выражение (10.37) определяет систему линейных ограничений на коэффициенты модели (10.34) следующего вида:

 

 

Подставляя ограничения (10.38) в (10.35), получим рассматриваемую модель дохода как сплайн-функцию в следующем виде:

 

где, напомним, d₁ и d₂ – фиктивные переменные, принимающие значения 1 на втором и третьем возрастных интервалах соответственно, и 0 – в противном случае.

В “фиктивной” форме может быть выражена и зависимая переменная. Такая ситуация имеет место, например, при проведении социологических опросов, когда их результат может быть представлен двумя ответами “да”, “нет” (1 или 0) (предполагаемая покупка автомобиля, дачи; желание иметь ребенка в семье и т. п.), а влияющие на этот результат факторы выражаются в произвольной форме (количественные характеристики – уровень дохода, жилая площадь и т. п., качественные характеристики – уровень образования и т. д.). Тогда расчетные значения  , определенные по модели при различных комбинациях значений независимых переменных х_i, можно интерпретировать как оценку условий вероятности события у при фиксированных значениях х_i, i=1,2,..., п.