11.5. Качественные характеристики оценок параметров нелинейных эконометрических моделей

Помимо определения точечных значений оценок параметров нелинейных эконометрических моделей в эконометрических исследованиях большое внимание уделяется и поиску  их интервальных характеристик, по величине которых можно судить о качестве построенного варианта эконометрической модели. Напомним, что совокупность интервальных характеристик параметров линейных эконометрических моделей можно определить на основе элементов ковариационной матрицы их оценок, определенных для независимых и гомоскедастичных ошибок выражением (2.18)

 

Cov(a)= _ ²(XX)^–1,

 

где Х – матрица значений независимых параметров.

Для нелинейной эконометрической модели в аналитическом виде получить аналог выражению (2.18) не представляется возможным. Однако можно определить некоторое приближение ковариационной матрицы оптимальных оценок параметров модели в области минимума суммы квадратов ошибки. Для этого разложим нелинейный функционал модели в окрестности точки оптимума параметров a_* в ряд Тейлора. В результате в соответствии с выражениями (11.19)–(11.23) получим

 

 

где f_* – вектор расчетных значений функционала f(, х) в точке параметров a_*, принадлежащей окрестности оптимума; Х_*  – матрица производных  f_t /a_i, определенная согласно выражению (11.21) в точке a_*,  – ошибка разложения.

Перепишем выражение (11.34) в следующем виде:

 

g=

 

где вектор g определяется согласно выражению:

 

g=у– f_*(, х₎+

 

Несложно заметить, что все компоненты вектора g в точке a_*  известны. Из этого вытекает, что в окрестности оптимума нелинейная эконометрическая модель может быть представлена в линейной форме записи (11.35).

В соответствии с этим, согласно выражению (2.18), ковариационная матрица оптимальных оценок параметров модели a может быть представлена в следующем приближенном виде:

 

Cov(a)= _²

 

Приближенный характер матрицы Cov(a) обусловлен использованием аппроксимирующего приближения Тейлора для нелинейной модели и соответствующей ему точки a_* из окрестности оптимума (а также матрицы  ). В этом случае, также как и в случае выражения (2.34), можно показать, что найденные оценки a приТ являются приблизительно состоятельными, а их распределение является асимптотически нормальным

 

(, 

где

 

Вопросы к главе XI

1.   Каковы причины нелинеаризуемости моделей?

2.   По каким признакам классифицируются методы оценки параметров нелинейных моделей?

3.   Охарактеризуйте методы с производными и методы без производных?

4.   Опишите процедуру прямого поиска.

5.   В чем состоит суть методов Гаусса?

6.   Опишите градиентные методы оценки параметров нелинейной модели и  особенности представления целевой функции.

 

Упражнения к главе XI

Задание 11.1

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

y=f(x)+=e^x+.

 

Требуется разложить функцию f(x) в ряд Тейлора второго порядка в точке x₀=0 и определить, чему равен предел разложения в ряд n-го порядка при n?

 

Задание 11.2

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

 

Требуется записать систему нормальных уравнений для определения оценок параметров ₀, ₁ и ₂.

 

 

Задание 11.3

Имеется нелинейное уравнение регрессии

 

 

Требуется записать “псевдолинейную” модель.

 

Задание 11.4

Имеется нелинейная однофакторная регрессионная модель

 

 

где _t~(0, ²).

Требуется:

1.   Вывести рекурсивные формулы для алгоритма Ньютона-Рафсона.

2.   Показать, что выполняется следующее равенство:

 

где S – сумма квадратов остатков.

 

Задание 11.5

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

где _t~N(0, ²).

Требуется показать, что оценка   параметра  по методу максимума правдоподобия совпадает с оценкой a, определенной с использованием  нелинейного МНК в модели

 

где _t~(0, ²).

 

 

Задание 11.6

Имеется нелинейное уравнение регрессии

 

 

где _t  распределена по закону Коши с функцией плотности f(z)=1/(1+z²).

Требуется построить алгоритм метода максимального правдоподобия Ньютона-Рафcона.

 

Задание 11.7

В результате оценивания по методу наименьших квадратов получается следующая линейная регрессионная модель:

 

y_t=4x_1t+0,5x_2t+е_t

 

с ковариационной матрицей

 

Сov (a)=  

Требуется:

1.  Рассчитать значение статистики Вальда для следующих нулевых гипотез:

а) H₀ : ₁₂=1;

б) H₀ : ln(₁)+ln(₂)=0.

Проанализировать взаимоотношения между двумя гипотезами и соответствующими тестами.

2.  Написать псевдолинейную модель для оценки приведенной в условии модели в предположении, что верна гипотеза а) из п. 1. Описать, как можно вычислить значение критической статистики в тесте множителей Лагранжа  применительно к полученному результату.

3.  Вычислить значение статистики в тесте отношения правдоподобия для модели с ограничением, если сумма квадратов остатков в модели без ограничения равна 500, в модели с ограничением – 510, а величина выборки Т=40.