11.3. Методы оценки параметров, основанные на линейной аппроксимации модели

В основе этой группы методов лежит идея представления нелинейного функционала эконометрической модели f(, x) в произвольной точке a⁽⁰⁾  в виде линейной аппроксимирующей функции, например, ряда Тейлора. Это даст возможность определить в некотором смысле оптимальные приросты оценок параметров a_i⁽¹⁾, минимизирующие функцию суммы квадратов ошибки S² (выражение (11.7)) в окрестности точки a⁽⁰⁾. При этом, поскольку ряд Тейлора не является точной аппроксимацией функционала модели f(, x), то новые значения оценок ее параметров, определяемые по очевидной  формуле a_i⁽¹⁾=a_i⁽⁰⁾+a_i⁽¹⁾,i=0,1,...,п, могут не совпасть с наилучшими оценками. В таком случае необходимо аппроксимировать модель в точке a ⁽¹⁾ и определить новые приросты параметров a_i⁽²⁾ и соответствующие им оценки a_i⁽²⁾ и т. д. Таким образом, формируется итеративная процедура последовательного приближения к искомым “оптимальным” оценкам a_i, которым соответствует локальный оптимум суммы квадратов ошибки в некоторой области существования значений параметров модели.

Нахождение оценок параметров модели, соответствующих глобальному минимуму, может быть осуществлено с использование такого же подхода, как и в методе прямого поиска, т. е. путем перебора различающихся вариантов исходных оценок параметров a_i⁽⁰⁾, выбираемых из различных участков допустимой области их существования.

В практике оценивания параметров нелинейных эконометрических моделей наибольшее распространение получил метод, известный в научной литературе как метод Гаусса-Зайделя. Для него характерны следующие этапы расчетов.

1.   Нелинейный функционал f_t(, x) в момент времени t и в точке оценок параметров a⁰ в соответствии с аппроксимирующей функцией Тейлора представляется в следующем виде:

 

 

где f_t⁰= f_t(a⁰, x) – значение функционала в начальной точке оценок параметров a⁰=(a₀⁰ , a₁⁰ ,..., a_п⁰);   – расчетное значение производной функционала модели по параметру _i  в точке a_i ⁰.

На практике значения этих производных определяются на основе частных разностей:

 

 

где a_i ⁰ – малое приращение оценки параметра a_i ⁰.

Таким образом, значения функции f_t⁰ и ее производных    в точке значений параметров a_i ⁰ являются известными.

Подставим выражение (11.17) в формулу (11.12). Получим

 

где a_i⁽¹⁾=a_i⁽¹⁾–a_i⁽⁰⁾; a_i⁽¹⁾  – оценка параметра _i  на первом шаге расчетов.

2.   Расчетные значения оценок a_i⁽¹⁾, i=0,1,...,п можно получить, приравняв нулю первые производные функции S² по приростам a_i. В результате получим систему уравнений, аналогичных нормальным уравнениям классического метода наименьших квадратов:

 

 

Обозначив у_t–f_t⁰=g_t⁰,  сформируем вектор-столбец g⁰=(g₁⁰,...,g_Е⁰) с Т компонентами. Из производных   сформируем матрицу   следующего вида:

 

 

размера T(п+1).

Из приростов a_i⁽¹⁾ сформируем вектор-столбец a⁽¹⁾=(a₀⁽¹⁾,..., a_п⁽¹⁾).

Несложно заметить, что с учетом этих обозначений систему (11.20) можно представить в следующем виде:

 

 

Из (11.22), в сою очередь, вытекает, что оценки приростов параметров a⁽¹⁾  на первом  шаге расчетов находятся из векторно-матричного выражения, имеющего характерный вид:

 

 

3.   Определив на основе полученных приростов a_i⁽¹⁾, i=0,1,...,п  оценки параметров эконометрической модели a_i¹=a_i⁰+a_i¹, проделаем ту же процедуру расчетов для получения новых приближений этих оценок. Заметим, что различные модификации метода Гаусса-Зайделя допускают расчет новых значений оценок на основе следующего выражения:

 

a_i^(j)=a_i^(j –1)+h_i^(j)a_i^(j),                                (11.24)

 

где h_i^(j) – так называемый “ускоряющий” множитель, вводимый для сокращения числа шагов при поиске минимума функции S² по параметрам эконометрической модели.

Его значение выбирается с учетом величины угла наклона функции S² в точке a_i^j. В области минимума функции S²(a_i) длину шага уменьшают, чтобы получить “наилучшую” оценку параметров.