3.2 Метод с «наказанием случайностью»
Пусть число изменений Х будет равено 35.
1.Первая точка.
Шаги для первой точки:
xi+1=xi+∆x
xi+1=xi+h*ε,
εiн=
εi
√ε
12+ε22+ε32
εi=ε iн-0.5
Используем таблицу случайных чисел.
1) ε1=0,6263, ε2=0,4989, ε3=0,3131
ε1н=0, 6263/√0,62632+0,49892+0,31312=0,73
ε2н=0,4989/√0,62632+0,49892+0,31312=0,58
ε3н=0,3131/√0,62632+0,49892+0,31312=0,36
ε1=0,73-0,5=0,23
ε2=0,58-0,5=0,08
ε3=0,36-0,5=-0,14
∆x1=0,23*5=1,2
∆x2=0,08*5=0,4
∆x3=-0,14*5=-0,7
Первый шаг (1,2;0,4;-0,7).
2) ε1=0,1711, ε2=0,4068, ε3=0,3639
ε1н=0,1711/√0,17112+0,40682+0,36392=0,30
ε2н=0,4068/√0,17112+0,40682+0,36392=0,71
ε3н=0,3639/√0,17112+0,40682+0,36392=0,64
ε1=0,3-0,5=-0,2
ε2=0,71-0,5=0,21
ε3=0,64-0,5=0,14
∆x1=-0,2*2=-0,4
∆x2=0,21*2=0,4
∆x3=0,14*2=0,3
Второй шаг (-0,4;0,4;0,3).
3) ε 1=0,8337, ε2=0,6263, ε3=0,4205
ε1н=0,8337 /√0,8337 2+0,6263 2+0,4205 2=0,74
ε2н=0,6263 /√0,8337 2+0,6263 2+0,4205 2=0,56
ε3н=0,4205 /√0,8337 2+0,6263 2+0,4205 2=0,37
ε1=0,74-0,5=0,24
ε2=0,56-0,5=0,06
ε3=0,37-0,5=-0,13
∆x1=0,24*2=0,5
∆x2=0,06*2=0,1
∆x3=-0,13*0,8=-0,3
Третий шаг (0,5;0,1;-0,3)
4) ε1=0,0998, ε2=0,0525, ε3=0,3276
ε1н=0,0998 /√0,0998 2+0,0525 2+0,3276 2=0,29
ε2н=0,0525 /√0,0998 2+0,0525 2+0,3276 2=0,15
ε3н=0,3276 /√0,0998 2+0,0525 2+0,3276 2=0,95
ε1=0,29-0,5=-0,21
ε2=0,15-0,5=-0,35
ε3=0,95-0,5=0,45
∆x1=-0,21*0,5=-0,1
∆x2=-0,35*0,5=-0,2
∆x3=0,45*0,5=0,2
Четвертый шаг (-0,1;-0,2;0,2)
5) ε1=0,4721, ε2=0,9250, ε3=0,7658
ε1н=0,4721 /√0,47212+0,9250 2+0,7658 2=0,37
ε2н=0,9250 /√0,1656 2+0,5470 2+0,9647 2=0,72
ε3н=0,7658 /√0,1656 2+0,5470 2+0,9647 2=0,59
ε1=0,37-0,5=-0,13
ε2=0,72-0,5=0,22
ε3=0,59-0,5=0,09
∆x1=-0,13*2=-0,3
∆x2=0,22*2=0,4
∆x3=0,09*2=0,2
Пятый шаг (-0,3;0,4;0,2)
6) ε1=0,7818, ε2=0,2689, ε3=0,2893
ε1н=0,7818 /√0,7818 2+0,2689 2+0,2893 2=0,89
ε2н=0,2689 /√0,7818 2+0,2689 2+0,2893 2=0,31
ε3н=0,2893 /√0,7818 2+0,2689 2+0,2893 2=0,33
ε1=0,89-0,5=0,39
ε2=0,31-0,5=-0,19
ε3=0,33-0,5=-0,17
∆x1=0,39*0,5=0,2
∆x2=-0,19*0,5=-0,1
∆x3=-0,17*0,5=-0,1
Шестой шаг (0,2;-0,1;-0,1)
7) ε1=0,3347, ε2=0,6743, ε3=0,3517
ε1н=0,3347 /√0,3347 2+0,6743 2+0,3517 2=0,40
ε2н=0,6743 /√0,3347 2+0,6743 2+0,3517 2=0,81
ε3н=0,3517 /√0,3347 2+0,6743 2+0,3517 2=0,42
ε1=0,40-0,5=-0,1
ε2=0,81-0,5=0,31
ε3=0,42-0,5=-0,08
∆x1=-0,1*1=-0,1
∆x2=0,31*1=0,3
∆x3=-0,08*1=-0,1
Седьмой шаг (-0,1;0,3;-0,1)
10) ε1=0,7818, ε2=0,6136, ε3=0,8440
ε1н=0,7818 /√0,7818 2+0,61362+0,84402=0,59
ε2н=0,6136 /√0,7818 2+0,61362+0,84402=0,47
ε3н=0,8440 /√0,7818 2+0,61362+0,84402=0,64
ε1=0,59-0,5=0,09
ε2=0,47-0,5=-0,03
ε3=0,64-0,5=0,14
∆x1=0,09*2=0,2
∆x2=-0,03*2=-0,1
∆x3=0,14*2=0,3
Восьмой шаг (0,2;-0,1;0,3)
Таблица 8. Первая точка
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
У5 |
Уср |
Комментарии |
1 |
2 |
2 |
2 |
31,050 |
32,900 |
29,729 |
33,429 |
32,636 |
31,949 |
|
2 |
3,2 |
2,4 |
1,3 |
60,085 |
57,442 |
61,407 |
59,821 |
61,671 |
60,0852 |
Шаги 1,2;0,4;-0,7. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону |
3 |
0,8 |
1,6 |
2,7 |
15,668 |
17,254 |
15,404 |
15,139 |
14,347 |
15,5624 |
Улучшение |
4 |
-0,4 |
1,2 |
3,4 |
15,261 |
11,296 |
16,053 |
14,203 |
11,296 |
13,6218 |
Улучшение |
5 |
-1,6 |
0,8 |
4,1 |
22,692 |
21,106 |
25,863 |
23,485 |
25,863 |
23,8018 |
Ухудшение |
6 |
-0,8 |
1,6 |
3,7 |
15,974 |
13,331 |
16,238 |
13,067 |
14,388 |
14,5996 |
Шаги:-0,4;0,4;0,3. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону |
7 |
0 |
0,8 |
3,1 |
11,388 |
12,445 |
11,652 |
10,859 |
14,823 |
12,2334 |
Улучшение |
8 |
0,4 |
0,4 |
2,8 |
13,077 |
9,905 |
10,169 |
8,848 |
13,869 |
11,1736 |
Улучшение |
9 |
0,8 |
0 |
2,5 |
11,870 |
8,699 |
8,170 |
9,491 |
11,077 |
9,8614 |
Улучшение |
10 |
1,2 |
-0,4 |
2,2 |
12,525 |
12,261 |
9,882 |
12,789 |
9,618 |
11,415 |
Ухудшение |
11 |
1,3 |
0,1 |
2,2 |
10,303 |
11,624 |
12,682 |
15,324 |
13,739 |
12,7344 |
Шаги: 0,5;0,1;-0,3. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону |
12 |
0,3 |
-0,1 |
2,8 |
10,666 |
11,194 |
9,873 |
8,287 |
8,816 |
9,7672 |
Улучшение |
13 |
-0,2 |
-0,2 |
3,1 |
9,862 |
13,298 |
14,091 |
10,391 |
14,619 |
12,4522 |
Ухудшение |
14 |
0,2 |
-0,3 |
3 |
8,967 |
10,288 |
10,024 |
9,759 |
9,759 |
9,7594 |
Шаги: -0,1;-0,2;0,2. Улучшение |
15 |
0,1 |
-0,5 |
3,2 |
11,252 |
15,216 |
12,838 |
12,309 |
12,045 |
12,732 |
Ухудшение |
16 |
-0,1 |
0,1 |
3,2 |
15,000 |
12,622 |
12,153 |
13,150 |
14,267 |
13,4384 |
Шаги: -0,3;0,4;0,2. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону |
17 |
0,5 |
-0,7 |
2,8 |
9,273 |
8,479 |
10,858 |
10,330 |
7,951 |
9,3782 |
Улучшение |
18 |
0,8 |
-1,1 |
2,6 |
9,046 |
10,632 |
6,403 |
9,574 |
7,989 |
8,7288 |
Улучшение |
19 |
1,1 |
-1,5 |
2,4 |
9,608 |
5,644 |
9,608 |
5,379 |
6,701 |
7,3880 |
Улучшение |
20 |
1,4 |
-1,9 |
2,2 |
5,144 |
8,844 |
6,202 |
6,994 |
3,823 |
6,2014 |
Улучшение |
21 |
1,7 |
-2,3 |
2 |
5,698 |
2,791 |
5,169 |
6,491 |
4,906 |
5,0110 |
Улучшение |
22 |
2 |
-2,7 |
0,8 |
-0,316 |
0,213 |
3,648 |
3,384 |
0,741 |
1,5340 |
Улучшение |
23 |
2,3 |
-3,1 |
0,6 |
0,630 |
2,480 |
-1,484 |
2,216 |
-1,220 |
0,5244 |
Улучшение |
24 |
2,6 |
-3,5 |
0,4 |
-2,128 |
-1,599 |
1,572 |
1,044 |
-1,335 |
-0,4892 |
Улучшение |
25 |
2,9 |
-3,9 |
0,2 |
-4,097 |
-1,189 |
-3,833 |
0,924 |
0,396 |
-1,5598 |
Улучшение |
26 |
3,2 |
-4,3 |
0 |
-2,106 |
-2,899 |
-3,692 |
-4,484 |
-1,049 |
-2,8460 |
Улучшение |
27 |
3,5 |
-4,7 |
-0,2 |
-5,669 |
-5,933 |
-1,440 |
-0,912 |
-3,819 |
-3,5546 |
Улучшение |
28 |
3,7 |
-4,8 |
-0,3 |
-0,979 |
-2,301 |
-0,979 |
-2,829 |
-3,887 |
-2,195 |
Шаги: 0,2;-0,1;-0,1. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону |
29 |
3,3 |
-4,6 |
-0,1 |
-6,248 |
-3,605 |
-1,755 |
-2,283 |
-5,719 |
-3,9220 |
Улучшение |
30 |
3,1 |
-4,5 |
0 |
-6,152 |
-6,416 |
-3,774 |
-5,095 |
-6,416 |
-5,5706 |
Улучшение |
31 |
2,9 |
-4,4 |
0,1 |
-4,325 |
-2,211 |
-2,739 |
-2,211 |
-4,061 |
-3,1094 |
Ухудшение |
32 |
3 |
-4,2 |
-0,1 |
-1,798 |
-5,234 |
-4,441 |
-0,741 |
-5,498 |
-3,5424 |
Шаги: -0,1;0,3;-0,1. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону |
33 |
3,2 |
-4,8 |
0,1 |
-7,645 |
-6,588 |
-8,174 |
-6,588 |
-7,140 |
-7,2270 |
Улучшение |
34 |
3,4 |
-4,9 |
0,4 |
-6,087 |
-7,408 |
-7,144 |
-7,937 |
-7,673 |
-7,2498 |
Шаги: 0,2;-0,1;0,3. Улучшение |
35 |
3,6 |
-5 |
0,7 |
-6,601 |
-6,866 |
-5,809 |
-5,016 |
-4,751 |
-5,8086 |
Ухудшение |
Предел изменения Х достигнут, эксперимент можно завершить. Точку (3,4;-4,9;0,4) с критерием оптимальности у=-7,2498 можно считать решением поставленной задачи.
Для того,чтобы определить, является ли найденный экстремум локальным или глобальным,возьмем новую начальную точку и заново проведем весь поиск.
2.Вторая точка.
Шаги для второй точки:
1) ε1=0,2569, ε2=0,1595, ε3=0,5517
ε1н=0,2569/√0,25692+0,15952+0,55172=0,41
ε2н=0,1595/√0,25692+0,15952+0,55172=0,25
ε3н=0,5517/√0,25692+0,15952+0,55172=0,88
ε1=0,41-0,5=-0,09
ε2=0,25-0,5=-0,25
ε3=0,88-0,5=0,38
∆x1=-0,09*1=-0,1
∆x2=-0,25*1=-0,3
∆x3=0,38*1=0,4
Первый шаг (-0,1;-0,3;0,4) .
2) ε1=0,4764, ε2=0,1673, ε3=0,5605
ε1н=0,4764/√0,47642+0,16732+0,56052=0,63
ε2н=0,1673/√0,47642+0,16732+0,56052=0,22
ε3н=0,5605/√0,47642+0,16732+0,56052=0,74
ε1=0,63-0,5=0,13
ε2=0,22-0,5=-0,28
ε3=0,74-0,5=0,24
∆x1=0,13*1,5=0,2
∆x2=-0,28*1,5=-0,4
∆x3=0,24*1,5=0,4
Второй шаг (0,2;-0,4; 0,4)
3) ε1=0,0764, ε2=0,2125, ε3=0,5605
ε1н=0,0764/√0,07642+0,21252+0,56052=0,13
ε2н=0,2125/√0,07642+0,21252+0,56052=0,35
ε3н=0,5605/√0,07642+0,21252+0,56052=0,93
ε1=0,13-0,5=-0,37
ε2=0,35-0,5=-0,15
ε3=0,93-0,5=0,43
∆x1=-0,37*5=-0,2
∆x2=-0,15*0,5=-0,1
∆x3=0,43*0,5=0,2
Третий шаг (-0,2;-0,1;0,2)
4) ε1=0,5353, ε2=0,1756, ε3=0,3575
ε1н=0,5353 /√0,5353 2+0,1756 2+0,35752=0,8
ε2н=0,1756 /√0,5353 2+0,1756 2+0,35752=0,26
ε3н=0,3575 /√0,5353 2+0,1756 2+0,35752=0,09
ε1=0,8-0,5=0,3
ε2=0,26-0,5=-0,43
ε3=0,09-0,5=-0,24
∆x1=0,3*3,3=1
∆x2=-0,43*3,3=-1,4
∆x3=-0,24*3,3=-0,8
Четвертый шаг (1;-1,4;-0,8;-1,5;0,1)
5) ε1=0,6473, ε2=0,8229, ε3=0,9361
ε1н=0,6473 /√0,6473 2+0,8229 2+0,9361 2=0,46
ε2н=0,8229 /√0,6473 2+0,8229 2+0,9361 2=0,59
ε3н=0,9361 /√0,6473 2+0,8229 2+0,9361 2=0,67
ε1=0,46-0,5=-0,04
ε2=0,59-0,5=0,09
ε3=0,67-0,5=0,17
∆x1=-0,04*2=-0,1
∆x2=0,09*2=0,2
∆x3=0,17*2=0,3
Пятый шаг (-0,1;0,2;0,3)
6) ε1=0,9303, ε2=0,7071, ε3=0,9187
ε1н=0,9303 /√0,9303 2+0,7071 2+0,9187 2=0,63
ε2н=0,7071 /√0,9303 2+0,7071 2+0,9187 2=0,48
ε3н=0,9187 /√0,9303 2+0,7071 2+0,9187 2=0,62
ε1=0,63-0,5=0,13
ε2=0,48-0,5=-0,02
ε3=0,62-0,5=0,12
∆x1=0,13*3=0,4
∆x2=-0,02*3=-0,1
∆x3=0,12*3=0,4
Шестой шаг (0,4;-0,1;0,4)
7) ε1=0,2125, ε2=0,4744, ε3=0,6357
ε1н=0,2125 /√0,2125 2+0,4744 2+0,6357 2=0,26
ε2н=0,4744 /√0,2125 2+0,4744 2+0,6357 2=0,58
ε3н=0,6357 /√0,2125 2+0,4744 2+0,6357 2=0,77
ε1=0,26-0,5=-0,24
ε2=0,58-0,5=0,08
ε3=0,77-0,5=0,27
∆x1=-0,24*0,7=-0,2
∆x2=0,08*0,7=0,1
∆x3=0,27*0,7=0,2
Седьмой шаг (-0,2;0,1; 0,2)
8) ε1=0,2803, ε2=0,0995, ε3=0,4890
ε1н=0,0995 /√0,0995 2+0,2803 2+0,4890 2=0,17
ε2н=0,2803 /√0,0995 2+0,2803 2+0,4890 2=0,39
ε3н=0,4890 /√0,0995 2+0,2803 2+0,4890 2=0,85
ε1=0,17-0,5=-0,33
ε2=0,39-0,5=-0,11
ε3=0,85-0,5=0,35
∆x1=-0,33*0,5=-0,2
∆x2=-0,11*0,5=-0,1
∆x3=0,35*0,5=0,2
Восьмой шаг (-0,2;-0,1;0,2)
Таблица 9. Вторая точка
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
У5 |
Уср |
Комментарии |
1 |
-2 |
-2 |
-2 |
30,257 |
29,464 |
33,693 |
31,579 |
29,729 |
30,9444 |
|
2 |
-2,1 |
-2,3 |
-1,6 |
31,867 |
33,981 |
35,303 |
35,567 |
31,867 |
33,717 |
Шаги -0,1;-0,3;0,4. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону |
3 |
-1,9 |
-1,7 |
-2,4 |
31,904 |
27,411 |
31,640 |
27,940 |
31,904 |
30,1598 |
Улучшение |
4 |
-1,8 |
-1,4 |
-2,8 |
29,408 |
27,822 |
25,708 |
30,465 |
30,729 |
28,8264 |
Улучшение |
5 |
-1,7 |
-1,1 |
-3,2 |
29,640 |
26,733 |
29,112 |
29,904 |
25,940 |
28,2658 |
Улучшение |
6 |
-1,6 |
-0,8 |
-3,6 |
27,579 |
25,729 |
24,672 |
27,579 |
25,729 |
26,2576 |
Улучшение |
7 |
-1,5 |
-0,5 |
-4 |
27,189 |
28,246 |
28,511 |
25,339 |
26,925 |
27,2420 |
Ухудшение |
8 |
-1,4 |
-1,2 |
-3,2 |
23,971 |
25,556 |
23,706 |
25,556 |
22,121 |
24,1820 |
Шаги: 0,2;-0,4;0,4. Улучшение |
9 |
-1,2 |
-1,6 |
-2,8 |
19,217 |
18,688 |
18,952 |
23,445 |
23,709 |
20,8022 |
Улучшение |
10 |
-1 |
-2 |
-2,4 |
17,810 |
20,981 |
19,924 |
19,131 |
18,603 |
19,2898 |
Улучшение. |
11 |
-0,8 |
-2,4 |
-2 |
13,672 |
16,315 |
16,051 |
15,258 |
16,844 |
15,6280 |
Улучшение |
12 |
-0,6 |
-2,8 |
-1,6 |
14,996 |
11,296 |
15,261 |
12,353 |
11,561 |
13,0934 |
Улучшение |
13 |
-0,4 |
-3,2 |
-1,2 |
9,889 |
12,268 |
13,853 |
13,061 |
10,682 |
11,9506 |
Улучшение. |
14 |
-0,2 |
-3,6 |
-0,8 |
11,565 |
11,301 |
7,072 |
11,301 |
11,565 |
10,5608 |
Улучшение |
15 |
0 |
-4 |
-0,4 |
9,981 |
7,074 |
9,189 |
6,281 |
8,924 |
8,2898 |
Улучшение |
16 |
0,2 |
-4,4 |
0 |
6,724 |
6,195 |
3,552 |
4,345 |
4,874 |
5,1380
|
Улучшение |
17 |
0,4 |
-4,8 |
0,4 |
2,321 |
6,021 |
5,756 |
6,021 |
6,549 |
5,3336 |
Ухудшение |
18 |
0 |
-4,5 |
0,2 |
6,115 |
10,079 |
11,136 |
9,815 |
10,608 |
9,5506 |
Шаги: -0,2;-0,1;0,2. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону |
19 |
0,4 |
-4,3 |
-0,2 |
4,607 |
1,436 |
2,228 |
2,493 |
2,757 |
2,7042 |
Улучшение |
20 |
0,6 |
-4,2 |
-0,4 |
-0,499 |
0,293 |
1,879 |
0,822 |
3,465 |
1,1920 |
Улучшение |
21 |
0,8 |
-4,1 |
-0,6 |
-2,517 |
0,390 |
-1,724 |
-2,253 |
1,183 |
-0,9842 |
Улучшение |
22 |
1 |
-4 |
-0,8 |
-1,974 |
-3,560 |
-1,974 |
-1,446 |
-1,181 |
-2,0270 |
Улучшение |
23 |
1,2 |
-3,9 |
-1 |
-3,364 |
-0,986 |
-0,457 |
-0,721 |
-2,307 |
-1,5670 |
Ухудшение |
24 |
0,9 |
-3,8 |
-0,5 |
1,509 |
0,981 |
-1,134 |
-2,984 |
-0,605 |
-0,4466 |
Шаги: -0,1;0,2;0,3. Ухудшение. Шагаем в противоположную сторону |
25 |
1,1 |
-4,2 |
-1,1 |
0,501 |
0,236 |
1,293 |
-3,464 |
-0,821 |
-0,4510 |
Ухудшение. |
26 |
1,4 |
-4,1 |
-0,4 |
-1,908 |
-5,344 |
-1,379 |
-2,701 |
-5,873 |
-3,4410 |
Шаги: 0,4;-0,1;0,4. Улучшение. |
27 |
1,8 |
-4,2 |
0 |
-7,139 |
-2,911 |
-4,232 |
-3,704 |
-2,911 |
-4,1794 |
Улучшение. |
28 |
2,2 |
-4,3 |
0,4 |
-6,303 |
-5,246 |
-5,774 |
-7,624 |
-7,360 |
-6,4614 |
Улучшение |
29 |
2,4 |
-4,4 |
0,8 |
-4,781 |
-5,309 |
-7,159 |
-5,045 |
-6,895 |
-5,8378 |
Ухудшение. |
30 |
2 |
-4,2 |
0,6 |
-3,055 |
-7,548 |
-6,755 |
-4,377 |
-4,905 |
-5,3280 |
Шаги:-0,2;0,1;0,2. Ухудшение. Шагаем в противоположную сторону |
31 |
2,4 |
-4,4 |
0,2 |
-4,059 |
-8,023 |
-8,552 |
-6,966 |
-7,231 |
-6,9662 |
Улучшение |
32 |
2,6 |
-4,5 |
0 |
-3,988 |
-7,159 |
-4,516 |
-7,688 |
-8,216 |
-6,3134 |
Ухудшение. |
33 |
2,2 |
-4,5 |
0,4 |
-3,924 |
-8,416 |
-8,945 |
-7,095 |
-5,509 |
-6,7778 |
Шаги: -0,2;-0,1;0,2. Ухудшение |
34 |
2,6 |
-4,3 |
0 |
-4,277 |
-3,484 |
-6,920 |
-6,392 |
-4,542 |
-5,1230 |
Ухудшение. |
Нашли точку (2,4;-4,4; 0,2) с критерием оптимальности у =-6,9662, которую можно считать решением поставленной задачи.
В этом методе получились разные точки: (3,4;-4,9;0,4) с критерием оптимальности у=-7,2498 и (2,4;-4,4; 0,2) с критерием оптимальности у =-6,9662, а это означает,что найденный минимум является локальным.
После проведения экспериментов двумя разными методами мы получаем разные результаты, поэтому можно предположить, что наш объект носит локальный характер.