2.2 Метод с «наказанием случайностью»

Зададим число изменений Х, будет равен 30.

Поиск первой точки.

Находим шаги для первой точки.

xⁱ⁺¹=xⁱ+h*ε, xⁱ⁺¹=xⁱ+∆x

ε_i^н=_i √ε ₁²+ε₂²+ε₃² +ε₄²+ε₅²

ε_i=ε _i^н-0.5

1) ε₁=0,6973, ε₂=0,617, ε₃=0,6581 (из таблицы случайных чисел)

ε₁=0,6973-0,5=-0,1973

ε₂=0,617-0,5=0,117

ε₃=0,6581-0,5=0,1581

ε₁^н=0,1973/√(-0,1973)²+0,117²+0,1581²=0,7081

ε₂^н=0,117/√(-0,1973)²+0,117²+0,1581²=0,4199

ε₃^н=0,1581/√(-0,1973)²+0,117²+0,1581²=0,5678

∆x₁=0,7081*0,3=0,2

∆x₂=0,4199*0,3=0,1

∆x₃=0,5678*0,3=0,2

Первый шаг (0,2;0,1;0,2) для таблицы 10, строка №2.

2) ε₁=0,5314, ε₂=0,4135 , ε₃=0,2973

ε₁=0,5314-0,5=0,0314

ε₂=0,4135 -0,5=-0,0865

ε₃=0,2973-0,5=-0,2027

ε₁^н=0,0314/√0,0314²+(-0,0865)²+(-0,2027)²=0,1411

ε₂^н=-0,0865/√0,0314²+(-0,0865)²+(-0,2027)²=-0,3885

ε₃^н=-0,2027/√0,0314²+(-0,0865)²+(-0,2027)²=-0,9106

∆x₁=0,1411*0,7=0,1

∆x₂=-0,3885*0,7=-0,3

∆x₃=-0,9106*0,7=-0,6

Следующий шаг (0,1;-0,3;-0,6) для таблицы 10, строка№13

3) ε ₁=0,6493, ε₂=0,3632, ε₃=0,1646

ε₁=0,6493-0,5=-0,1493

ε₂=0,1368-0,5=-0,3632

ε₃=0,3354-0,5=-0,1646

ε₁^н=-0,1493/√(-0,1493)²+(-0,3632) ²+(-0,1646)²=0,3507

ε₂^н=-0,3632/√(-0,1493)²+(-0,3632)²+(-0,1646)²=-0,1853

ε₃^н=-0,1646/√(-0,1493)²+(-0,3632)²+(-0,1646)²=-0,3866

∆x₁=0,3507*0,6=0,2

∆x₂=-0,1853*0,6=-0,1

∆x₃=-0,3866*0,6=-0,2

Следующий шаг (0,2;-0,1;-0,2) для таблицы 10, строка №15

4) ε₁=0,5682, ε₂=0,4829, ε₃=0,4052

ε₁=0, 5682-0,5=0,0682

ε₂=0,4829-0,5=-0,0171

ε₃=0,4052-0,5=-0,0948

ε₁^н=0,0682/√0,0682²+(-0,0171)²+(-0,0948)²=0,2063

ε₂^н=-0,0171/√0,0682²+(-0,0171)²+(-0,0948)²=-0,2048

ε₃^н=-0,0948/√0,0682²+(-0,0171)²+(-0,0948)²=-0,2689

∆x₁=0,2063*0,5=0,1

∆x₂=-0,2048*0,5=0,1

∆x₃=-0,2689*0,5=0,1

Следующий шаг (0,1;-0,1;-0,1) для таблицы 10, строка №18

5) ε₁=0,5319, ε₂=0,2909, ε₃=0,708

ε₁=0,5319-0,5=0,0319

ε₂=0,2909-0,5=-0,2091

ε₃=0,708-0,5=0,208

ε₁^н=0,0319/√0,0319²+(-0,2091)²+0,208²=0,344

ε₂^н=-0,2091/√0,0319²+(-0,2091)²+0,208²=-0,658

ε₃^н=0,208/√0,0319²+(-0,2091)²+0,208²=0,352

∆x₁=0,344*0,3=0,1

∆x₂=-0,658*0,3=-0,2

∆x₃=0,352*0,32=0,1

Следующий шаг (0,1;-0,2;0,1) для таблицы 10, строка №22

6) ε₁=0,0899, ε₂=0,8341, ε₃=0,911

ε₁=0,0899-0,5=-0,4101

ε₂=0,8341-0,5=0,3341

ε₃=0,0880-0,5=0,411

ε₁^н=-0,4101/√(-0,4101)²+0,3341²+0,411²=-0,662

ε₂^н=0,3341/√(-0,4101)²+0,3341²+0,411²=0,658

ε₃^н=-0,411/√(-0,4101)²+0,3341²+0,411²=-0,277

∆x₁=-0,662*0,5=-0,3

∆x₂=0,658*0,5=0,3

∆x₃=-0,277*0,5=-0,1

Следующий шаг (-0,3;0,3;-0,1) для таблицы 10, строка №27

7) ε₁=0,5804, ε₂=0,4531, ε₃=0,4323,

ε₁=0,5804-0,5=0,0804

ε₂=0,4531-0,5=-0,0469

ε₃=0,4323-0,5=-0,0677

ε₁^н=0,0804/√0,0804²+(-0,0469)²+(-0,0677)²=0,5644

ε₂^н=-0,0469/√0,0804²+(-0,0469)²+(-0,0677)²=-0,5331

ε₃^н=-0,0677/√0,0804²+(-0,0469)²+(-0,0677)²=-0,5981

∆x₁=0,5644*0,5=0,1

∆x₂=-0,5331*0,5=-0,1

∆x₃=-0,5981*0,5=-0,1

Следующий шаг (0,1;-0,1;-0,1) для таблицы 10 строка №30

Таблица 10. Первая точка

№	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	У4	Уср	Комментарии
1	2	2	2					81,13
2	2,2	2,1	2,2	106,9	103,3	106,4	105,3		Шаги 0,2;0,1;0,2 Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
3	1,8	1,9	1,8	61,33	59,78	61,58	61,84		Улучшение
4	1,6	1,8	1,6	44,52	45,55	47,1	46,07		Улучшение
5	1,4	1,7	1,4	31,65	32,68	31,14	30,88		Улучшение
6	1,2	1,6	1,2	25,24	26,27	22,42	21,64		Улучшение
7	1	1,5	1	17,89	14,81	15,07	18,15		Улучшение
8	0,8	1,4	0,8	10,73	9,96	13,82	9,7		Улучшение
9	0,6	1,3	0,6	7,26	9,57	7	7,77		Улучшение
10	0,4	1,2	0,4	7,66	8,18	4,32	5,86	6,5	Улучшение
11	0,2	1,1	0,2	6,51	5,99	6,51	3,42	5,6	Улучшение
12	0	1	0	4,05	6,3	6,88	6,62	5,88	Ухудшение
13	0,3	0,8	-0,4	4,13	4,9	3,1	4,64	4,19	Шаги: 0,1;-0,3;-0,6 Улучшение
14	0,4	0,5	-1	4,45	4,2	3,94	4,45	4,26	Ухудшение
15	0.5	0,7	-0,6	3,41	3,67	4,18	5,47	4,18	Шаги: 0,2;-0,1;-0,2 Улучшение
16	0,7	0,6	-0,8	4,75	4,24	3,98	3,72	4,17	Улучшение
17	0,9	0,5	-1	4,98	4,46	4,72	4,21	4,59	Ухудшение
18	0,8	0,5	-0,9	3,7	4,04	4,56	3,7	4	Шаги: 0,1;-0,1;-0,1 Улудшение
19	0,9	0,4	-1	3,7	4,29	4,03	3,7	3,93	Улучшение
20	1	0,3	-1,1	3,7	4,2	3,7	3,9	3,87	Улучшение
21	1,1	0,2	-1,2	3,59	4,11	3,85	4,11	3,91	Ухудшение
22	1,1	0,1	-1	3,14	3,92	2,89	2,89	3,21	Шаги: 0,1;-0,2;0,1 Улучшение
23	1,2	-0,1	-0,9	3,17	3,43	2,66	2,9	3,04	Улучшение
24	1,3	-0,3	-0,8	3,68	2,14	3,17	2,65	2,91	Улучшение
25	1,4	-0,5	-0,7	3	2,48	3,51	4	3,24	Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
26	0,9	0,5	-1,2	5,2	5,99	7,27	4,7	5,79	Ухудшение
27	1	0	-0,9	3,05	2,54	2,79	2,79	2,79	Шаги: -0,3;0,3;-0,1 Улучшение
28	1,3	0,3	-1	4,88	4,36	4,11	5,91	4,81	Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
29	1,6	-0,6	-0,7	4,69	4,43	4,17	3,66	4,23	Ухудшение
30	1,1	-0,1	-1	2,79	3,05	2,54	3,31	2,92	Шаги: 0,1;-0,1;-0,1

На этом этапе эксперимент может быть завершен, поскольку достигнут предел изменения Х, поэтому получившуюся точку (1;0;-0,9) с критерием оптимальности y=2,79 можно считать решением поставленной задачи данного метода.

Проверим правильность нахождения минимума, взяв новую точку

(-2;-2;-2).

Проведем еще серию экспериментов.

Поиск второй точки.

Находим шаги для второй точки.

1. ε₁=0,9776, ε₂=0,3321, ε₃=0,6457

ε₁=0,9776-0,5=0,4776

ε₂=0,3321-0,5=-0,1679

ε₃=0,6457-0,5=0,1457

ε₁^н=0,4776/√0,4776²+(-0,1679)²+0,1457²=0,9066

ε₂^н=-0,1679/√0,4776²+(-0,1679)²+0,1457²=-0,3187

ε₃^н=0,1457/√0,4776²+(-0,1679)²+0,1457²=0,2765

∆x₁=0,9066*0,4=0,4

∆x₂=-0,3187*0,4=-0,1

∆x₃=0,2765*0,4=0,1

Первый шаг (0,4;-0,1;0,1) для таблицы 11, строка №2.

2. ε₁=0,4829, ε₂=0,5682, ε₃=0,4754

ε₁=0,4829-0,5=-0,0171

ε₂=0,5682-0,5=0,0682

ε₃=0,4754 -0,5=-0,0246

ε₁^н=-0,0171/√0,0682²+(-0,0171)²+(-0,0246)²=-0,2295

ε₂^н=0,0682/√0,0682²+(-0,0171)²+(-0,0246)²=0,9154

ε₃^н=-0,0246/√0,0682²+(-0,0171)²+(-0,0246)²=0,3302

∆x₁=-0,2295*0,5=-0,1

∆x₂=0,9154*0,5=0,5

∆x₃=0,3302*0,5=0,2

Первый шаг (-0,1;0,5;0,2) для таблицы 11, строка №9.

3. ε₁=0,7659, ε₂=0,3606, ε₃=0,4833

ε₁=0,7659-0,5=0,2659

ε₂=0,3606-0,5=-0,1394

ε₃₌0,4833 -0,5=-0,0167

ε₁^н=0,2659/√0,2659²+0,1394²+0,0167²=0,5274

ε₂^н=-0,1394/√0,2659²+0,1394²+0,0167²=-0,3255

ε₃^н=-0,0167/√0,2659²+0,1394²+0,0167²=-0,3386

∆x₁=0,5274*0,6=0,3

∆x₂=-0,3255*0,6=-0,2

∆x₃=-0,3386*0,6=-0,2

Первый шаг (0,3;-0,2;-0,2) для таблицы 11, строка №17

4. ε₁=0,924, ε₂=0,860, ε₃=0,9829

ε₁=0,924 -0,5=0,424

ε₂=0,860-0,5=0,360

ε₃=0,9829-0,5=0,4829

ε₁^н=0,424/√0,424²+0,360²+0,4829²=0,3156

ε₂^н=0,360/√0,424²+0,360²+0,4829²=0,2353

ε₃^н=0,4829/√0,424²+0,360²+0,4829²=0,2443

∆x₁=0,3156*0,4=0,1

∆x₂=0,2353*0,4=0,1

∆x₃=0,2443*0,4=0,1

Следующий шаг (0,1;0.1;0,1) для таблицы 11, строка№22

5. ε₁=0,7927, ε₂=0,7259, ε₃=0,7803

ε₁=0,7927-0,5=0,2927

ε₂=0,7259-0,5=0,2259

ε₃=0,7803-0,5=0,2803

ε₁^н=0,2927 /√0,2927 ²+0,2259 ²+0,2803 ²=0,073

ε₂^н=0,2259 /√0,2927 ²+0,2259 ²+0,2803 ²=0,056

ε₃^н=0,2803 /√0,2927 ²+0,2259 ²+0,2803 ²=0,071

∆x₁=0,073*2=0,2

∆x₂=0,056*2=0,1

∆x₃=0,071*2=0,1

Следующий шаг (0,2;0,1;0,1) для таблицы 11, строка №24

6. ε₁=0,6242, ε₂=0,9182, ε₃=0,6089

ε₁=0,6242-0,5=0,1242

ε₂=0,9182-0,5=0,4182

ε₃=0,6089-0,5=0,1089

ε₁^н=0,1242/√0,1242²+0,4182²+0,1089²=0,156

ε₂^н=0,4182/√0,1242²+0,4182²+0,1089²=0,263

ε₃^н=0,1089/√0,1242²+0,4182²+0,1089²=0,125

∆x₁=0,156*0,8=0,1

∆x₂=0,263*0,8=0,2

∆x₃=0,125*0,8=0,1

Следующий шаг (0,1;0,2;0,1) для таблицы 11, строка№26

7. ε₁=0,9647, ε₂=0,9405, ε₃=0,5682

ε₁=0,9647-0,5=0,4647

ε₂=0,9405-0,5=0,4405

ε₃=0,5682-0,5=0,0682

ε₁^н=0,4647/√0,4647²+0,4405²+0,0682²=0,365

ε₂^н=0,4405/√0,4647²+0,4405²+0,0682²=0,682

ε₃^н=0,0682/√0,4647²+0,4405²+0,0682²=0,693

∆x₁=0,365*0,3=0,1

∆x₂=0,682*0,3=0,2

∆x₃=0,693*0,3=0,2

Следующий шаг (0,1;0,2;0,2) для таблицы 11 под №28

8. ε₁=0,6847, ε₂=0,9276, ε₃=0,8646

ε₁=0,6847-0,5=0,1847

ε₂=0,9276-0,5=0,4276

ε₃=0,8646-0,5=0,3646

ε₁^н=0,1847/√0,1847²+0,4276²+0,3646²=0,389

ε₂^н=0,4276/√0,1847²+0,4276²+0,3646²=0,344

ε₃^н=0,3646/√0,1847²+0,4276²+0,3646²=0,418

∆x₁=0,389*0,6=0,2

∆x₂=0,344*0,6=0,2

∆x₃=0,418*0,6=0,2

Следующий шаг (0,2;0,2;0,2) для таблицы 11 под №30

Таблица 11. Вторая точка

№	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	У4	Уср	Комментарии
1	-2	-2	-2	64,1	62,82	63,07	66,93	64,23
2	-1,6	-2,2	-1,9	56,37	55,34	57,92	56,1	56,43	Шаги 0,4;-0,1;0,1 Улучшение
3	-1,2	-2,3	-1,8	43,78	46,35	42,7	44,3	44,28	Улучшение
4	-0,8	-2,4	-1,7	34,5	32,7	33,7	36,82	34,43	Улучшение
5	-0,4	-2,5	-1,6	24,54	25,57	24,54	27,88	25,63	Улучшение
6	0	-2,6	-1,5	22,3	20,48	21,5	24,34	22,15	Улучшение
7	0,4	-2,7	-1,4	23,27	21,9	23,53	22,24	22,73	Улучшение
8	0,8	-2,8	-1,3	31,29	32,06	34,36	31.5	32,3	Ухудшение.
9	0,3	-2,2	-1.2	11,87	15,2	12,4	13.9	13.34	Шаги -0,1;0,5;0,2 Улучшение
10	0,2	-1,7	-1	9,28	10.82	6,7	6,19	8,24	Улучшение
11	0,1	-1,2	-0,8	5,05	5,82	7,1	7,62	6,39	Улучшение
12	0	-0,7	-0,6	5,1	4,07	6,13	5,36	5,16	Улучшение
13	-0,1	-0,2	-0,4	4,24	3,21	6,81	6,3	5,14	Улучшение
14	-0,2	0,3	-0,2	4,61	5,13	3.59	4,1	4,35	Улучшение
15	-0,3	0,8	0	4,95	4,18	3,15	3,66	3,98	Улучшение
16	-0,4	1,3	0,2	3,36	5,68	6,45	6,19	5,42	Ухудшение
17	0	0,6	-0,2	3,34	3.08	2.05	4,62	3,27	Шаги: 0,3;-0,2;-0,2 Улучшение
18	0,3	0,4	-0,4	3.57	2,54	2.28	3.83	3.05	Улучшение
19	0,6	0,2	-0,6	3.47	2,69	2,44	2,95	2,88	Улучшение
20	0,9	0	-1	3,04	2.73	2,9	2,73	2,85	Улучшение
21	1,2	-0,2	-1,2	4,37	3,34	3,6	2,83	3,53	Ухудшение
22	1	0,1	-0,9	3,75	3,49	4,01	4.78	4	Шаги: 0,1;0,1;0,1 Ухудшение. Шагаем в противоположную сторону
23	0,8	-0,1	-1,1	4,67	3,64	4,41	3.13	3,96	Ухудшение
24	1,1	0,1	-0,9	4,27	4,79	4,53	4,01	4,4	Шаги: 0,2;0,1;0,1 Ухудшение. Шагаем в противоположную сторону
25	0,7	-0,1	-1,1	4,72	3,69	3,95	4,2	4,14	Ухудшение.
26	1	0,2	-0,9	3,24	4,27	2,99	4,02	3,63	Шаги: 0,1;0,2;0,1 Ухудшение. Шагаем в противоположную сторону
27	0,8	-0,2	-1,1	3.63	2,86	3,89	4,92	3,82	Ухудшение.
28	1	0,2	-0,8	3,35	6,9	3,87	6,7	5,2	Шаги:0,1;0,2;0,2 Ухудшение. Шагаем в противоположную сторону
29	0,8	-0,2	-1.2	3,59	4,1	3,85	3.33	3,71	Ухудшение.
30	1,1	0,2	-0,8	3,15	4,44	2,89	3,41	3,47	Шаги:0,2;0,2;0,2 Ухудшение.

Получаем точку (0,9;0;-1) с критерием оптимальности у =2,85. Этот результат наилучший, как и первый. Из двух разных точек данным методом мы «пришли» практически в одну.

После проведения экспериментов двумя разными методами мы получаем практически один и тот же результат, а это означает, что найденный минимум является глобальным.