Проведение экспериментов. Метод «Гаусса-Зайделя».
Из начальной точки (2; 2; 2) с у=81,29 ищем минимум критерия оптимальности по переменной х1. Используем прием последовательного сканирования, т.е. «шагаем» до первого лучшего значения критерия, применяя алгоритм х1i+1=х1i ± h.Знак «+» или «-» выбирается в зависимости от направления изменения критерия: нужно взять такой знак, при котором критерий уменьшается.
При измерении выходной величины пользуемся средствами измерения с разным диапазоном, поэтому значения получаем с разной точностью.
В начальной точке проведём десять экспериментов и найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение единичного результата.
Формулы, применяемые при расчете:
где
2
– дисперсия;
– среднее квадратическое отклонение;
n– число экспериментов.
Yi |
Уi-Yср |
82,679 79,85 80,879 80,879 81,393 82,164 79,85 83,45 79,85 81,907 |
1,389 -1,44 -0,411 -0,411 0,103 0,873 -1,44 2,16 -1,44 0,617
|
Уср |
81,29 |
σ2 |
1,589 |
σ |
1,26 |
3 σ= (3*1,26)/4 =0,945
Таблица 1 -Цикл 1, h=2
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
Уср |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
2 4 0 -2 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
2 2 2 2 2 4 6 -2 -4 -6 0 0 0 0 0 0 |
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 0 -2 -4 |
253,52 26,626 79,236 245,93 74,886 150,51 22,257 73,08 153,6 20,057 6,257 42,371 6,885 6,514 20,571 |
253,52 24,314 77,178 243,62 72,314 150,51 23,8 74,371 152,57 19,286 9,6 42,886 6,114 6,771 21,6 |
253,01 23,286 80,264 243,88 70 154,63 24,571 73,343 154,89 21,343 6,771 39,029 4,828 7,542 18,771 |
249,15 24,314 78,721 244,13 72,829 153,6 22 71,286 150,77 22,629 6,771 40,057 5,342 8,828 20,571 |
81,29 252,3 24,635 78,849 244,39 72,507 152,312 23,157 73,02 152,957 20,828 7,349 41,085 5,792 6,741 20,378 |
Ухудш Улучш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Улучш Ухудш Ухудш Улучш Улучш Ухудш Улучш Ухудш ухудш |
|
Таким образом, получена лучшая точка (0;0;0), значение критерия Уср=5,792.
Проверим на следующем этапе с меньшим шагом не является ли полученная точка искомым экстремумом.
Таблица 2 - Цикл 2; h=1
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
Уср |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 |
1 2 -1 1 1 1 1 1 |
0 0 0 1 -1 0 0 0 |
0 0 0 0 0 1 -1 -2 |
2,771 4,057 4,057 9,249 6,407 4,585 2,7 7,971 |
2 3,542 2 11,049 7,693 4,328 2,7 9,514 |
5,857 2,771 6,628 9,506 6,151 7,414 3,985 5,657 |
3,8 5,857 3,028 7,963 4,607 4,328 3,471 5,4 |
3,607 4,056 3,928 9,441 6,214 5,163 3,214 7,135 |
Улучш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Улучш Ухудш |
|
Получили точку (1;0;-1), значение критерия в которой Уср=3,214.
=5,792-3,214=2,578
Проверим на следующем этапе с меньшим шагом не является ли полученная точка искомым экстремумом.
Таблица 3 - Цикл 3; h=0,5
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
Уср |
|
|
1 2 3 4 5 6 |
1,5 0,5 1 1 1 1 |
0 0 0,5 -0,5 0 0 |
-1 -1 -1 -1 -1,5 -0,5 |
7,435 4,907 4,696 2,96 4,057 6,471 |
6,15 7,478 4,954 5,017 4,314 3,128 |
4,35 2,85 5,211 7,588 6,885 6,471 |
3,578 7,735 7,525 4,503 3,8 4,414 |
5,378 5,742 5,596 5,017 4,764 5,121 |
Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш |
|
Улучшений не наблюдается.
Таблица 4 - Цикл 4; h=0,2
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
Уср |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 |
1,2 0,8 0,6 1 1 1 1 |
0 0 0 0,2 -0,2 0 0 |
-1 -1 -1 -1 -1 -0,8 -1,2 |
2,64 2,76 2,82 5,987 7,189 2,914 7,708 |
7,268 5,074 3,848 7,273 6,932 7,285 7,965 |
2,64 4,56 4,877 4,445 5,132 3,942 5,137 |
3,668 3,531 5,134 5,731 2,817 4,971 7,451 |
4,054 3,981 4,169 5,859 5,517 4,778 7,065 |
Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш ухудш |
|
Так как не удается получить лучшее значение критерия, следовательно, точка (1;0;-1) является решением поставленной задачи.
Для того чтобы определить является ли найденный экстремум локальным или глобальным, возьмем новую начальную точку с координатами (-2;-2;-2) и значением критерия Уср=66,024 и заново проведем поиск.
Таблица 5 - Цикл 1; h=2
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
Уср |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
0 2 -4 0 0 0 0 0 0 |
-2 -2 -2 -4 0 2 0 0 0 |
-2 -2 -2 -2 -2 -2 0 2 -4 |
24,314 65,807 189,01 71,286 8,826 23,286 6,628 9,857 20,057 |
26,114 65,807 187,21 71,029 8,826 26,886 2,771 6,771 21,343 |
24,314 63,236 189,01 72,571 6,514 24,829 4,571 9,342 21,086 |
23,286 65,293 189,01 71,8 8,571 25,6 3,285 9,857 21,086 |
24,507 65,035 188,56 71,671 8,184 25,15 4,314 8,956 20,893 |
Улучш Ухудш Ухудш Ухудш Улучш Ухудш Улучш Ухудш ухудш |
|
Получили точку(0;0;0), значение критерия в которой Уср=4,121.
Проверим на следующем этапе с меньшим шагом не является ли полученная точка искомым экстремумом.
Таблица 7 - Цикл 2; h=1
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
Уср |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 |
1 2 3 -1 1 1 1 1 |
0 0 0 0 1 -1 0 0 |
0 0 0 0 0 0 1 -1 |
2,257 4,057 2 2,771 9,763 6,150 4,585 3,214 |
4,828 2,771 3,285 4,828 8,992 6,665 7,671 3,985 |
5,857 5,857 5,085 4,571 9,506 4,35 3,814 2,957 |
3,8 4,828 5,6 6,371 9,763 6,407 7,671 2,7 |
3,8 4,828 3,992 4,635 9,506 5,893 5,935 3,214 |
Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш улучш |
|
Получили точку (1;0;-1), значение критерия, в которой Уср=3,214
=4,314-3,214=1,1
Проверим на следующем этапе с меньшим шагом не является ли полученная точка искомым экстремумом.
Таблица 8 – Цикл 3; h=0,5
№ |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
Уср |
|
|
1 2 3 4 5 6 |
1 1 1,5 0,5 1 1 |
0 0 0 0 0,5 -0,5 |
-0,5 -1,5 -1 -1 -1 -1 |
2,614 5,6 4,35 4,65 8,811 4,246 |
3,385 5,857 5,378 7,221 8,296 6,817 |
3,9 8,428 4,35 7,735 7,782 2,96 |
6,985 5,857 4,092 3,107 8,554 7,846 |
4,211 6,435 4,542 5,678 8,361 5,467 |
Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш ухудш |
|
Улучшений не наблюдается.
Таблица 9 –Цикл 4; h=0,2
№
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
У1 |
У2 |
У3 |
У4 |
Уср |
|
|
1 2 3 4 5 6 |
1,2 0,8 1 1 1 1 |
0 0 0,2 -0,2 0 0 |
-1 -1 -1 -1 -0,8 -1,2 |
5,982 5,745 3,159 6,16 4,714 4,365 |
5,468 5,588 3,93 7,446 7,285 7,451 |
5,468 7,645 3,159 2,817 5,742 6,68 |
7,525 7,131 7,53 4,875 6,771 7,7 |
6,111 6,552 4,444 5,324 6,128 6,549 |
Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш Ухудш ухудш |
|
Так как не удается получить лучшее значение критерия, следовательно, точка (1;0;-1) является решением поставленной задачи. После проведения проверки получили один результат. Следовательно, можно сделать вывод о том, что найденный минимум является глобальным.