§6. Свойства функций сложения по модулю 2.

Основные соотношения для функции: :

ассоциативный закон

коммутативный закон

дистрибутивный закон относительно функции конъюнкции

а также

x при n нечетном;

0 при n четном.

n

В справедливости этих соотношений можно убедиться, если вместо подставить СДНФ этой функции:

Пример. Доказать равносильность функций

а) аналитически

б) с помощью таблиц истинности (табл.11,12) функций:

Таблица 11 Таблица 12

x y xy x y x+y

0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 1 1 1

Пример. Доказать равносильность функций с помощью таблиц истинности (табл.13, 14).

Таблица 13 Таблица 14

x y x y xy

0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1

Теорема Жегалкина: любая булева функция может быть представлена в виде многочлена

f(x₁ x₂ … x_n)= α₀ α₁ x₁ α₂ x₂ … α_n x_n α_n+1

x₁ x₂ α_n+2 x₁ x₃ … α_N x₁ x₂ … x_n ,

где α₀, α₁, … , α_N - некоторые константы, равные 0 или 1.

Для доказательства воспользуемся основной теоремой, утверждающей, что любую булеву функцию можно записать в виде 2ⁿ-1

f(x₁ x₂ … x_n)= α _i m_i .

i=0

Для любого конкретного набора < x₁ x₂ … x_n > из тех наборов, на которых функция принимает значение 1, только один минтерм обращается в единицу, а остальные равны нулю. Поэтому справедлива запись 2ⁿ-1

f(x₁ x₂ … x_n)= α _i m_i .

i=0

От этой формы записи можно перейти к функции в виде полинома через операции и , пользуясь соотношением .

Пример. .

Таким образом, после приведения подобных членов функция f(x₁ x₂ … x_n) будет записана в виде многочлена, при построении которого используются только операции конъюнкции и сложения по mod 2.

Теорема доказана.