Глава 5. Методы и средства функционального синтеза

Математические модели электронных схем. Анализ электронных схем на ЭВМ осуществляется с помощью математической модели, т.е. системы уравнений, описывающей работу исследуемой схемы. Математическая модель схемы (ММС) состоит из компонентных (макромодельных) и топологических уравнений. Компонентные уравнения — уравнения элементов или макромоделей. Топологические уравнения — уравнения связи элементов в узле или устройстве.

Переменные, характеризующие состояние элементов, принято называть фазовыми переменными. Обозначим: V — вектор фазовых переменных; E - подвектор, образованный фазовыми переменными вектора V, производные которых фигурируют в компонентных уравнениях. Для электронных схем V — вектор токов и напряжений всех ветвей схемы, E — индуктивные токи и емкостные напряжения.

При формировании ММС задается перечень элементов системы и имеется библиотека элементов или макромоделей, т.е. подсистема компонентных уравнений F(z,V,t)=0. После дискретизации уравнение будет иметь вид

F_k(z_k, V_k, t_k)=0, ^(2.1)

где z_k=z(th), V_k=V(th), t_k — значение независимой переменной t для k-го шага интегрирования. Выполнив разложение (2.1) в ряд Тейлора в окрестностях точки (z_ki, V_ki), являющейся i-м приближением к корню этой системы, и сохранив в разложении только линейные члены, получим

А_kiz_k,i+1 + B_kiV_k,i+1 = Q_ki, (2.2)

где A_ki = F_k/ z_k , B_ki = F_k/ V_k и вектор правых частей Q_ki определены в точках (z_ki, V_ki), a (z_k,i+1, V_k,i+1) — точки (i+1)-гo приближения к корню.

Так как заданы межэлементные связи, то известна подсистема топологических уравнений

DV_k,i+1 =0 (2.3)

где D — топологическая матрица.

Для полноты системы математической модели используется подсистема, выражающая формулу численного интегрирования:

F(z_k,i+1,V_k,i+1)=0. (2.4)

Для большинства методов подсистема (2.4) линейна:

,

и задача формирования ММС конкретизируется как задача формирования матриц , H_k, D, А_ki, B_ki и векторов и Q_ki.

Общая система уравнения ММС:

Подсистема линейных алгебраических уравнений (2.3) выражает законы Кирхгофа для токов и напряжений для выбранной совокупности независимых контуров и сечений в графе схемы замещения (эквивалентной схемы). Выбор совокупности эквивалентен выбору фундаментального дерева в графе схемы. Фундаментальным деревом связного графа называется суграф, в котором отсутствуют циклы. Для связного графа с а вершинами фундаментальное дерево состоит из ребра. Нордами называются ребра, не вошедшие в фундаментальное дерево.

Система уравнений для первого закона Кирхгофа:

J_р + МJ_х = 0, (2.5)

Где J_p и J_x – векторы токов соответственно ребер и хорд фундаментального дерева; М — топологическая матрица контуров и сечений.

Система уравнений для второго закона Кирхгофа:

U_x – M^TU_p = 0 (2.6)

где U_X и U_p — векторы напряжений соответственно хорд и ребер фундаментального дерева; М^т — транспонированная матрица М.

Следовательно, подсистема уравнений (2.3) с матрицей коэффициентов D принимает вид

Операции выбора фундаментального дерева и формирования матрицы М формализованы.

В настоящее время для формирования системы уравнений применяются методы переменных состояния, метод узловых потенциалов, обобщенный метод и т.п. [16],

Метод переменных состояния (МПС). В методе переменных состояния в качестве переменных используются напряжения на емкостях и токи через индуктивности (переменные состояния). Метод основан на получении ММС в форме, удобной для применения явных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В МПС исходными являются уравнения:

J_P + MJ_X = 0;

U_X - MU_P = 0;

F_K(z_K,V_K,t_K) = 0;

где матрица М формируется на основе нормального дерева в графе схемы. Нормальным деревом графа схемы называется дерево, которое содержит все источники напряжения, максимально возможное число конденсаторов и резисторов, минимально возможное число индуктивностей.

В этом случае М-матрица имеет следующую структуру:

Здесь С, S — матрицы конденсаторов, попавших в дерево и хорды графа соответственно; R, — матрицы резисторов, попавших в дерево и хорды графа соответственно; Г, L — матрицы индуктивностей, попавших в дерево и хорды графа соответственно. Зависимые и независимые источники напряжения Е, J_E и источники тока J, U_J.

Тип ветви определяется видом соответствующего ей компонен­тного уравнения. В МПС предполагается, что компонентные уравнения резистивных ветвей связывают J_R и U_R, емкостных Ветвей U_s и J_s либо U_c и J_c, индуктивных ветвей J_L и U_L либо J_Г и U_Г; при этом в уравнениях связи могут фигурировать переменные состояния, к которым относятся U_c и J_L. Источники напряжений Е и тока J могут быть независимыми или зависимыми только от переменных состояния и времени, т.е. компонентные уравнения имеют вид:

F_R(U_R,J_R,U_C,J_L) = 0; (2.8)

F_r(U_r,J_r,U_C,J_L) = 0; (2.9)

F_S( ,J_S,U_C J_L) = 0; (2.10)

F_C( ,J_C,U_C J_L) = 0; (2.11)

F_L( ,U_L,U_C J_L) = 0 (2.12)

F_r( ,U_r,U_C J_L) = 0; (2.13)

F_E(U_E,U_c,J_L,t) = 0; (2.14)

F_j(J_j,U_C,J_L,t) = 0. (2.15)

Математическая модель схемы ММС состоит из трех подсистем алгебраических уравнений и формул явного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Первая подсистема формируется из линеаризованных уравнений (2.8), (2.9) и топологических уравнений, характеризующих резисторы:

Вторая подсистема формируется из линеаризованных уравнений (2.11) и топологических уравнений, относящихся к матрице конденсаторов:

* =

По аналогии формируется третья подсистема из линеаризован­ных уравнений (2.12), (2.13) и топологических уравнений, относящихся к индуктивностям:

* =

Здесь Q_r, Q_R, Q_s, Q_c, Q_L, Q_r— правые части линеаризован­ных компонентных уравнений, зависящие от переменных состояния:

Q_r = -F_r(U_r,J_r,U_c,J_L).+ ( F_r/ J_r)J'_r+( F_r/ U_r)U'_r;

Q_R = -F_R(U'_R,J'_R,U_C,J_L) + ( F_R/ J_R)J'_R + ( F_R/ U_R)U'_R;

Q_S = - F_S(U'_SJ'_S,U_C,J_L) + ( F_S/ J_S)U'_S + ( F_S/ J_S)J'_S

и т.д., где обозначение переменной со штрихом относит ее к пред­ыдущей итерации вычислительного процесса,

Таким образом, на очередном шаге численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) явными методами выполняются следующие вычисления:

по известным от предыдущего шага значениям U _c, J_L и известному значению t вычисляются значения U_E, J_J путем решения

компонентных уравнений (2.14) и (2.15) и значения их производных по времени;

вычисляются правые части и коэффициенты системы уравнений (2.16). ..(2.18);

вычисляются векторы J _R и U _г по (2.16);

вычисляются векторы и по (2.17);

применяется одна из явных формул интегрирования, позволя­ющая по ()U _с и ()J _L вычислить значения и для нового шага интегрирования.

Метод позволяет использовать неявные методы интегрирования ОДУ. Рассмотренный метод переменных состояния отличается высокой наглядностью, так как позволяет получить конечную форму ма­тематической модели схемы в виде дифференциального уравнения.

Пример. Построить ММС для схемы рис. 2.20, а , граф-схе­ма которой приведен на рис. 2.20, б с помощью МПС в случае ис­пользования явных методов интегрирования.

Рис. 2.20. Принципиальная (а) и граф-схема (б) устройства

Для рассматриваемого примера матрица М имеет вид

M =

Математическая модель схемы представляется следующими тремя системами уравнений:

Реализация построенной ММС позволяет подобрать все значения компонентов схемы и провести оптимизацию исследуемой схемы.

Метод узловых потенциалов. В данном методе в качестве независимых переменных используются напряжения во внутренних узлах схемы относительно некоторого опорного узла, потенциал которого принимается равным нулю. Внутренним узлом называется узел, который не связан непосредственно с источником напряжения.

В основе метода лежит первый закон Кирхгофа. В методе узловых потенциалов (МУП) различают классический и модифицированный варианты. В классическом варианте вектор определенных переменных составляют узловые потенциалы, топологические уравнения которых представлены в виде

AJ-0, U + A^t = 0, (2.19)

где J — вектор токов ветвей; — вектор узловых потенциалов; А — матрица.

Для получения ММС используется процедура линеаризации и исключения небазисных координат. В результате ММС принимает

вид

Я V= Q, (2.20)

где Я — матрица узловых проводимостей, Q — вектор правых частей, V— вектор базисных координат.

Порядок системы равен - 1, где — количество узлов в схеме. Однако классический метод имеет ряд ограничений, в частности в нем недопустимы идеальные источники напряжения, индуктивности и т.п., поэтому в настоящее время используется модифицированный вариант МУП.

В этом методе ветви разделяются на особые и неособые. Особые ветви — ветви из идеальных источников напряжения, индуктивностей и ветви, токи которых являются управляющими у каких-либо других ветвей; все остальные ветви — неособые.

Вектор базисных координат состоит из вектора узловых потенциалов и вектора J ₂ токов особых ветвей. Исходными являются уравнения (2.1) и (2.19), а также компонентные уравнения неособых ветвей

F₁( , J₂, , U₁, )=0

и особых ветвей

F₂(J₂, , U₁, )=0,

где — вектор токов неособых ветвей.

После линеаризации компонентных уравнений выполняется процедура исключения небазисных координат, в результате чего получается ММС

,

где

, ,

; , ;

, ;

, ;

A=[A₁A₂], A₁ и A₂ - матрицы инциденций узлов соответст венно с неособыми и особыми ветвями;

, Q₂=Q₀₂, Q₀₁, Q₀₂ - постоянные члены линеаризованных компонентных уравнений.

Модифицируемый метод предусматривает предварительную алгебраизацию дифференциальных уравнений на основе формул интегрирования Гира:

, ,

где — коэффициент, зависящий от размера шага интегрирования, а векторы и , кроме того, от значений фазовых координат U и J₂ на P-предшествующих шагах, где Р — порядок метода. Тогда ММС представляется как

,

где =A₁D₁A^t – матрица узловых проводимостей;

= A₂-A₁D₂ – матрица безразмерных коэффициентов; Р₁ =-A₁D₃, Я₃,Я₄ и Р ₂ получаются на основании линеаризации компонентных уравнений:

; ;

P₂ = -F₂(J₂, , U, ) + ( F₂/ J₂)J₂ + ( F₂/ ) + ( F₂/ U)U+( F₂/ ) +( F₂/ ) +( F₂/ ) .

В определении матрицы Якоби участвуют матрицы D₁, D₂ и D₃, которые определяются из выражений

D₁= ; D₂=

D₃=F₁(J₁J₂ U₁ )+ .

Все переменные J_l,J₂, U, , относятся к предыдущему шагу итерации.

Алгоритм формирования матрицы F/ J и вектора J в общем случае включает последовательное обращение к математическим моделям всех компонентов схемы. Рассмотрим действия, которые производятся при обращении к модели k-го компонента, имеющего п выводов и подсоединенного к схеме с узлами j₁ ...j_n .

1. Вычисляются токи выводов компонента по аналитическим зависимостям, связывающим токи выводов и напряжений на выводах компонента.

2. Токи выводов суммируются с соответствующими элементами вектора узловых токов:

.

3. Вычисляются производные на выводах компонента.

4. Вычисленные производные суммируются с соответствующими элементами матрицы полных узловых проводимостей.

В результате реализации модели можно исследовать статические и динамические параметры схемы и определить коэффициенты чувствительности выходных параметров схемы к изменению ее входных параметров.

Метод многополюсных подсхем. Метод основан на разделении сложной схемы (или системы уравнений) на простые подсхемы (подсистемы) с учетом связей между ними.

Решение задачи высокой размерности сводится к последовательному или параллельному решению нескольких подзадач меньшей размерности.

Предполагается, что моделируемая схема разбита на k подсхем путем проведения сечений через схемные узлы. Каждый компонент схемы принадлежит одной подсхеме. Внутренние узлы пронумерованы в следующем порядке: внутренние узлы первой подсхемы {1,2,...,n}, внутренние узлы второй подсхемы { п₁+1, п₁+2,..., п₁+n₂ } и т.д. Узлы межсвязей обозначим {N₁+l, N₁+2, ..., N_l+m}, где

. Под узлами межсвязей подразумевается такие внутренние узлы схемы, которые образованы путем соединения компонентов схемы, принадлежащих разным подсхемам.

При такой нумерации узлов схемы структура матрицы проводи­мостей имеет вид

.

Подматрица J_ii, имеющая размерность (n_i n_i), является матрицей проводимостей i-й подсхемы, соответствующей внутренним узлам. Подматрицы J_i,k+1, J_k+1,i, J_k+1,k+1 размерностями (n_i m), (m n_i), (m ) описывают взаимное соединение подсхем.

Пусть U={U₁U₂…U_k} — вектор потенциалов во внутренних узлах подсхем, V — вектор потенциалов узлов межсвязей.

ММС принимает следующий вид:

C₁(U₁,V) = 0;

C₂(U₂, V) = 0;

…

C_k(U_k,V) = 0;

F(U, V) = 0,

где С_i = {g_{n i +1}+1, g _ni-1+2,…,g _n2} — вектор задающих токов для внутренних узлов i-й подсхемы; F= {f₁,f₂,…f_m} — вектор задающих токов для узлов межсвязей. При этом переменные U₁, U₂,…,U_N являются функциями аргументов , ,…, которые принимаются за независимые переменные:

U_j = U_j( , ,..., ), j=1,2,…N₁.

Вектор задающих токов F представляется рядом Тейлора:

F= ,

Где .

Таким образом, для вычисления необходимо определить матрицы производных , i = 1,2,..., k.

Рассматривая уравнения как неявное задание функции U_i, элементы матрицы можно получить по правилу Крамера из системы линейных уравнений

,

откуда

, i=1,2,…,k.

Вычислительный процесс строится таким образом, что решение системы трансцендентных уравнений высокого порядка, описывающей работу всей схемы, заменяется решением системы более низкого порядка, описывающей соединение подсхем в единую цепь. При этом на каждом шаге итерационного процесса для нахождения якобиана и вектора F₀ необходимо решить k систем нелинейных уравнений соответствующих подсхем.

Метод диакоптики. В этом методе декомпозиция большой схемы на подсхемы производится путем проведения линий сечения через ветви, которые называют ветвями межсвязей. Под узлами межсвязей подразумеваются схемные узлы, к которым подключены ветви межсвязей.

Соотношения между узловыми напряжениями и узловыми токами описываются с помощью матриц проводимостей каждой подсхемы J_i,i; i = 1,2, ,.,,k. Размерность матрицы J_i,i определяется суммарным количеством n_i - внутренних узлов подсхемы и узлов межсвязей, принадлежащих данной подсхеме:

,

где J'_i- — вектор задающих токов i-й подсхемы без учета вектора J"_i токов, обусловленного взаимным соединением подсхем; J_св представляет собой матрицу проводимостей ветвей межсвязей размерностью (с с); С — количество ветвей межсвязей; j_св — токи ветвей межсвязей; V — напряжения на ветвях межсвязей.

Вычислительный процесс по методу диакоптики строится по следующему алгоритму:

x⁰=J₁^-1J’; J”=-Cz₄^-1Cⁱx⁰;

; x⁽¹⁾= ;

x=x⁽⁰⁾+x⁽¹⁾.

В матрице С размерностью N C строки соответствуют схемным узлам, а столбцы — ветвям межсвязей; — обратная матрица.

Диакоптические методы анализа больших интегральных систем (БИС) разделяются на две группы: раздельного итерирования и раздельного интегрирования.

Метод раздельного итерирования основан на использовании различной скорости сходимости итераций при решении нелинейных алгебраических уравнений для отдельных подсхем. Применение метода Ньютона на каждом шаге интегрирования системы приводит к одинаковому числу итераций для всех подсхем, которое определяется по подсхеме с наиболее медленной сходимостью итераций.

Метод раздельного интегрирования основан на различной инерционности отдельных подсхем, когда в одной подсхеме переходные процессы протекают быстро, а в другой — медленно. К методам раздельного интегрирования относятся методы учета латентности, вложенных шагов, однонаправленных реакций, прогнозируемых реакций [18, 19].