§8. Абсолютные минимальные представления булевых функций.

До сих пор мы рассматривали проблему минимизации функций, относящихся к классу ДНФ. Однако очень часто МДНФ функции можно упростить введением скобочной записи.

Пример. f(ABCD)=m₈+ m₉+ m₁₀+ m₁₁+ m₁₄+ m₁₅;

МДНФ

Однако более простая запись получится при вынесении А за скобки:

Поэтому возникла проблема нахождения абсолютных минимальных представлений для булевых функций.

Определение. Выражение Q называется абсолютным минимальным представлением для функции f(x₁x₂…x_n), если в базисе {/\,\/,ˉ} не существует более минимальных представлений, каким бы способом ни получалось это выражение.

Встает вопрос: не является ли абсолютными минимальными выражения, которые могут быть получены их МКНФ путем всевозможных вынесений за скобки и выбором наиболее простого выражения из этих скобочных форм.

Беркхарт показал, что существуют такие минимальные выражения, которые не могут быть получены при вынесении за скобки в МДНФ или МКНФ.

В работах Абхъянкара дан алгоритм непосредственного нахождения абсолютных минимальных выражений для данной функции. Однако этот алгоритм практически неприменим даже при малом n из-за большого количества необходимых операций.

Так, на последнем этапе получения абсолютного минимального выражения функции n переменных число операций оценивается как

+1≤m≤ .

При n=4 2²⁵⁷≤m≤2⁶⁵⁵³⁶.

Таким образом, нахождение абсолютных минимальных выражений функции с числом переменных больше четырех по имеющемуся алгоритму Абхъянкара становится неприемлимым даже при использовании средств вычислительной техники.

Более практической является минимизация МДНФ путем вынесения за скобки.

Раздел 3.

§1. Синтез логических схем на интегральных элементах.

Рассмотрим схемы элементов, реализующих функцию стрелка Пирса «↓» (элемент «ИЛИ-НЕ») и функцию Шеффера «|» (элемент «И-НЕ») (рис.42) .

Основные соотношения в системах { ↓ } и { | }:

Функции Шеффера и Пирса связаны соотношениями, аналогичными формулам де Моргана:

Синтез схем на элементах типа «не-или».

1. Функция задана в ДНФ:

f(x₁ x₂… x_n)=K₁+ K₂+…+ K_m,

здесь K_m – элементарные произведения.

Берем двойное отрицание выражения, используем теорему де Моргана и переходим к базису { ↓ }:

Рассмотрим элементарное произведение

где a_i =x₁ или ; b_i =x₂ или и т.д.

Такую процедуру следует провести над каждым элементарным произведением, тогда

Таким образом, чтобы перейти от ДНФ к функции Пирса, необходимо все элементарные произведения заключить в скобки, а затем все знаки дизъюнкции и конъюнкции заменить знаком стрелки Пирса, взять инверсии от всех переменных, заключенных в скобках, и общую инверсию от полученного выражения А записью 0↓А или А↓0. Аналогично все инверсии переменных заменить через выражение или .

При этом следует помнить, что любое произведение в сходном выражении должно содержать не менее двух переменных. Это можно получить с помощью соотношения .

Пример.

2. Функция задана в КНФ:

f(x₁ x₂… x_n)=Q₁+ Q₂+…+ Q_m,

здесь Q_i – элементарные суммы.