Из них обязательными является ас и . Функция имеет две минимальные формы:
Переходим к МКНФ f(ABC):
Пример. Найти МКНФ функции:
Карта Вейча для f(ABC) приведена на рис.10, а.
Используем карту Вейча для отыскания МДНФ (рис.10,б).
Функция имеет единственную МДНФ:
Находим МКНФ исходной функции:
§7. Минимальные формы не полностью определенных булевых функций.
Не полностью определенными переключательными функциями называются функции, значения которых на некоторых наборах не определены, т.е. могут быть как нулями, так и единицами.
Наборы, на которых функция не определена, называется запрещенными или избыточными.
Форма представления функции существенно зависит от выбора значений ее на избыточных наборах.
Пример. Функция f(ABC) приведена в табл.20.
Таблица 20
A 0 0
0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
f(ABC) 1 0 0 0 - 1 1 -
МДНФ
МДНФ
Рассмотрим общий метод получения МДНФ не полностью определенных булевых функций.
Пусть булева функция f(x1 x2 … xn) не определена на p наборах аргументов. Тогда полностью определенная функция φ(x1 x2 … xn) называется эквивалентной функции f(x1 x2 … xn), если ее значения совпадают со значениями функции f(x1x2…xn) на тех наборах, на которых последняя определена.
Если функция f(x1 x2 … xn) не определена на р наборах, то существует 2p различных функций, эквивалентных данной.
Задача минимизации не полностью определенных функций сводится к отысканию такой эквивалентной функции φi(x1x2…xn), которая имеет простейшую минимальную форму.
Введем эквивалентные функции φ0(x1x2…xn) и φ1(x1x2…xn), которые на всех запрошенных наборах функции f(x1x2…xn) принимают значения 0 и 1 соответственно.
Теорема. Минимальная ДНФ не полностью определенной функции f(x1x2…xn) совпадает с дизъюнкцией тех самых коротких импликант функции φ1(x1x2…xn), которые совместно поглощают все единицы функции φ0(x1x2…xn) и ни одна из них не является лишней.
Доказательство следующее.
Предположим, что φi(x1x2…xn) – некоторая эквивалентная функция. Тогда все минтермы СДНФ φi входят в СДНФ функции φ1. Поэтому любая импликанта функции φi(x1x2…xn) будет совпадать с импликантой функции φ1 или поглощаться ею, т.е. среди импликант функции φ1 всегда найдется такая, которая поглощает любую импликанту любой эквивалентной функции φ1. Следовательно, самыми короткими импликантами из всех накрывающих единицы функции f(x1x2…xn) будут импликанты функции φ1.
Среди всех эквивалентных функций φ0 имеет минимальное количество минтермов. Следовательно, и количество простых импликант (из набора импликант функции φ1), необходимых для поглощения минтермов φ0, будет минимальным. Дизъюнкция самых коротких импликант функции φ1, которые совместно накрывают все единицы φ0, представляет МДНФ f(x1x2…xn).
Пример. Найти МДНФ функции:
причем наборы <
>,
<
>, <
>, <
> являются запрещенными.
Проводим процедуру, описанную в методе Квайна, используя минтермы как функциональных, так и запрещенных наборов функции:
Составляем импликантную матрицу (табл.21), используя минтермы только функциональных наборов функции.
Таблица 21
Минимальная форма исходной функции
Импликанта ACD не поглощает ни один минтерм функциональных наборов, так как образована из тех минтермов функции φ1, которые в φ0 не входят.
Пример.
Найти МДНФ и МКНФ не полностью определенной
функции
Причем наборы
,
и
являются запрещенными.
Используем метод карт Вейча (рис.11).
Незаполненные клетки карты соответствуют запрещенным наборам.
Карта для обратной
функции
приведена на
рис.12.
