1.6. Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо .

Означення. Функція називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Нехай функція визначена на множині Е, а змінні x і y, у свою чергу, залежать від змінних u та v і , , де обидві функції та визначені на множині D. Якщо для будь-якого значення , такі, що (рис.12), то кажуть, що на множині D визначена складна функція , де , ; x, y — проміжні змінні, u, v — незалежні змінні.

Рис.12.

Приклад. Функція , де , — складна функція. Вона визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді .

Означення. Функцію , яка визначена на множині називають неперервною по множині в точці , якщо .

Теорема 5. Нехай на множині D визначено складну функцію , де , , і нехай функції , неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де , . Тоді складна функція неперервна в точці .

1.7. Властивості неперервної функції двох змінних

Теорема 6. Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена в деякому околі цієї точки.

Теорема 7. Якщо функції та неперервні в точці , то в цій точці будуть неперервними , , при .

Теорема 8. Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то вона обмежена на цій множині.

Теорема 9. Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень на цій множині є як найменші, так і найбільші.

Теорема 10. Нехай функція неперервна на зв’язній множині D і набуває у двох точках А і В цієї множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній функція перетворюється на нуль.

Теорема 11. Нехай функція неперервна на зв’язній множині D й у двох будь-яких точках А та В цієї множини набуває нерівних значень та . Тоді на цій множині вона набуває будь-яких значень µ, яке лежить між і , тобто існує така точка , що .

Приклади

Приклад. У просторі R дано множину . Вказати внутрішні, межові точки множини Е у просторі R.

 (0, 1) — усі точки інтервалу внутрішні; x = 0, x = 1, x = 2 — межові точки.

Приклад. Побудувати лінії рівня функції .

 Рівняння ліній рівня має вигляд або . Узявши , дістанемо сім’ю ліній рівня (рис.13).

Рис.13	Рис.14

Приклад. Знайти область визначення функції двох змінних та надати їй геометричну інтерпретацію:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  .

 а) Функція невизначена, якщо . Геометрично це означає, що область визначення складається із двох напівплощин, одна з яких лежить вище, а друга — нижче від прямої (рис.14).

б) Функція визначена, якщо , тобто . Це є замкнений круг з центром (0; 0) та радіусом 1 (рис.15).

в) Функція визначена, якщо , тобто (рис.16).

г) Функція визначена, якщо , тобто (рис.17).

Рис.15	Рис.16	Рис.17