4.2. Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов на выбранных уровнях, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ) [1, с. 110–128; 13, с. 191–204].

Число опытов N в полном факторном эксперименте определяется выражением:

, (4.2)

где – число уровней каждого фактора; – число факторов.

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях, следовательно

.

Моделью объекта в ПФЭ будет уравнение

. (4.3)

Например, для двухфакторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид:

(4.4)

Значения коэффициентов в этом уравнении определяют с помощью значений функции отклика, полученных в результате опытов. Величина и знак коэффициента указывают на вклад данного фактора в общий результат при переходе с нулевого на верхний или нижний уровень фактора. Коэффициенты при факторах учитывают непосредственное воздействие фактора на параметр оптимизации, а коэффициенты при произведениях факторов учитывают тот факт, что влияние одного фактора может зависеть от уровня, на котором находятся другой или другие.

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, которая дает максимальную информацию о действии факторов и их взаимодействиях на параметры оптимизации. При построении матрицы ПФЭ следует учитывать следующее. Число строк равно количеству опытов N. Уровни факторов обозначаются кодированными значениями (+1; –1). Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо «+1» и «–1» пишут только «+» или «–». Значения функции отклика, полученные при выполнении опытов, обозначаются через , , …, .

Матрица планирования трехфакторного эксперимента представлена в табл. 4.2.

Таблица 4.2

План ПФЭ 2³ с взаимодействиями

№ опыта	x0	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3	x1 x2 x3	yj
1	+	–	–	–	+	+	+	–	y1
2	+	+	–	–	–	–	+	+	y2
3	+	–	+	–	–	+	–	+	y3
4	+	+	+	–	+	–	–	–	y4
5	+	–	–	+	+	–	–	+	y5
6	+	+	–	+	–	+	–	–	y6
7	+	–	+	+	–	–	+	–	y7
8	+	+	+	+	+	+	+	+	y8

В первом столбце матрицы проставлены номера опытов, второй – представляет собой значения фиктивного фактора Х₀ (он введен для оценки свободного члена и находится всегда на верхнем уровне), третий, четвертый и пятый столбцы представляют собой собственно матрицу ПФЭ 2³. Они непосредственно используются для проведения эксперимента. Значения факторов в этих столбцах находятся по правилу чередования знаков, в соответствии с которым знаки элементов первого столбца ( ) чередуются через один, второго – через два, третьего – через четыре, четвертого – через восемь и т. д., по степеням двойки, элементы первой строки матрицы имеют отрицательный знак. Шестой, седьмой, восьмой и девятый столбцы отведены под взаимодействия всех возможных вариантов. Знаки в этих столбцах получаются путем перемножения столбцов соответствующих факторов.

Для удобства реализации плана эксперимента составляется рабочая матрица, в которой значения факторов приводятся в натуральных единицах. Рабочая матрица, приведенная в табл. 4.3, разработана для рассмотренного примера (табл. 4.2).

Для исключения влияния систематических ошибок, вызванных внешними условиями (изменением температуры окружающей среды, её влажности, характеристик образцов и т. д.), рекомендуется опыты, предусмотренные матрицей, проводить в случайной последовательности. Порядок проведения опытов следует выбирать по таблице случайных чисел или путём обычной жеребьёвки.

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт необходимо проводить раз.

Таблица 4.3

Матрица планирования и рабочая матрица

№ опыта	Матрица планирования			Рабочая матрица			yj
	x1	x2	x3	Т, оС	Р, мПа	Т, с
1	2	3	4	5	6	7	8
1	–	–	–	150	4,5	15	y1
2	+	–	–	170	4,5	15	y2
3	–	+	–	150	5,5	15	y3
4	+	+	–	170	5,5	15	y4
5	–	–	+	150	4,5	25	y5
6	+	–	+	170	4,5	25	y6
7	–	+	+	150	5,5	25	y7
8	+	+	+	170	5,5	25	y8

Использование приёма рандомизации покажем на примере (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Рандомизированная матрица планирования

№ опыта	x1	x2	x3	Порядковый № опыта и его повторения	Случайная последователь-ность выполнения опытов
1	+	–	–	1/2	4/2
2	+	+	–	3/4	5/6
3	+	–	+	5/6	7/3
4	+	+	+	7/8	8/1

Допустим, необходимо провести ПФЭ 2², причём в каждом опыте предполагается осуществить два наблюдения. ПФЭ 2² предполагает проведение четырёх опытов, а с учётом параллельных опытов в нашем примере – 8. Теперь выберем в таблице случайных чисел (прил. 4) ряд чисел с 1 по 8, допустим, следующий: 4, 2, 5, 6, 7, 3, 8 и 1 (ряд не должен иметь повторений). Следовательно, именно такую последовательность должны иметь наблюдения (табл. 3.3).Это значит, что по времени будут начинать с опыта № 4 (порядковый номер 8), затем выполнять опыт № 1 (порядковый номер 2) и т. д.