2. Учебно-тематический план занятий.

Модуль

Номер темы

Тема

Краткое содержание

Число

часов

1

1

Введение.

Задачи курса, его содержание. Общая характеристика современных методов спектрального оценивания. Основные свойства стационарных случайных функций. Определение случайной функции.

2

2

Методы описания случайных функций.

Моменты случайной функции. Корреляционная теория. Стационарность. Свойства корреляционной функции.

2

3

Спектральное разложение случайного процесса.

Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Уравнение Крамера. Спектральное разложение корреляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Теорема Винера-Хинчина.

2

4

Оценка математического ожидания случайного процесса.

Понятия несмещенной и состоятельной оценки. Оценка среднего значения по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для математического ожидания. Рекурсивное оценивание математического ожидания. Оценка математического ожидания ограниченного по полосе белого шума. Радиус корреляции (первое определение).

2

5

Оценка корреляционной функции случайного процесса.

Оценивание корреляционной функции по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для корреляционной функции. Корреляционное окно. Рекурсивное оценивание дисперсии. Оценка корреляционной функции ограниченного по полосе белого шума. Радиус корреляции (второе определение).

2

6

Дисперсия оценок ограниченного по полосе белого шума.

Дисперсия оценки математического ожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.

2

2

1

Оценка спектральной плотности мощности случайного процесса.

Оценивание спектральной плотности мощности стационарного (СПМ) случайного процесса. Смещенность оценки СПМ. Несостоятельность оценки СПМ. Корреляционная функция оценки СПМ.

4

2

Теоретические основы классических методов оценивания спектральной плотности мощности.

Метод осреднения по ансамблю. Состоятельность и асимптотическая несмещенность оценки СПМ.

Метод осреднения по частоте. Состоятельность и асимптотическая несмещенность оценки СПМ. Спектральное окно.

2

3

Практическое оценивание СПМ классическими методами.

Классические методы спектрального анализа (периодограммный метод). Явление Утечки. Временное окно на данные. Коррелограммный метод оценки СПМ; Периодограммный метод оценки СПМ; Комбинированные периодограммные-коррелограммные оценки.

3

4

Дискретное преобразование Фурье и его свойства.

Связь дискретного и непрерывного преобразований. Равенство Парсеваля в непрерывном и дискретном случаях. Линейная и круговая свертки. Эффекты элайзинга в частотной и временной областях, эффекты подмены.

2

5

Быстрые алгоритмы дискретного преобразования Фурье.

Алгоритмы Кули-Тьюки, Гуда-Томаса, Герцеля, Винограда. Разрешение и произведение «устойчивость*длительность*ширина полосы».

1

3

1

Методы моделирования с использованием рациональной передаточной функции.

Подходы к моделированию и идентификации параметров. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов. Соотношения между параметрами АР-, СС- и АРСС-моделей.

2

2

Уравнения Юла-Уокера.

Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. Уравнения Юла-Уокера.

1

3

Фильтры линейного предсказания.

Спектральная факторизация. Связь параметров АР-модели с фильтрами линейного предсказания. Алгоритм Левинсона. Коэффициенты отражения. Свойства спектральной плотности мощности авторегрессионного процесса. Спектральное оценивание на основе метода максимальной энтропии. Автокорреляционное обобщение АР-оценки.

2

4

Методы оценивания параметров АР-модели.

Групповая оценка АР-параметров. Геометрический алгоритм. Гармонический алгоритм (Берга). Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Характеристики оценок.

Последовательная оценка АР-параметров. Рекурсивные ав-торегрессионные методы наименьших квадратов.

Выбор порядка модели.

Аномалии и коррекция спектральных АР-оценок.

3

5

Метод Прони.

Исходный подход Прони. Метод наименьших квадратов Прони. Спектр Прони. Оценивание спектральных линий по методу Прони.

2

6

Метод Кейпона.

Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона ( по методу минимума дисперсии ).

1

7

Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.

Метод гармонического разложения Писаренко.

1

Итого

36 часов