Тема 7. Теория игр

Методами обоснования решения в условиях неопределенности и риска занимается математическая теория игр. В теории игр рассматриваются такие ситуации когда имеются два участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели. В качестве участников могут выступать коллективы, конкурирующие предприятия и так далее. Во всех случаях предполагается, что операция проводится против разумного противника или конкурента преследующего свои собственные цели и сознательно противодействующего достижению цели другим участникам. Так как цели противоположны а результат мероприятия каждой из сторон зависит от действий конкурента, то эти действия называют конфликтными ситуациями. В конфликтной ситуации сталкиваются противоположные интересы двух участников. Схематизированная модель конфликтной ситуации называется игрой. Результат игры - победа или поражение которые не всегда имеют количественное выражение и можно выразить условно числами. Игра называется игрой с нулевой суммой если один из игроков выигрывает ровно столько сколько проигрывает другой. Развитие игры во времени представляется как ряд последовательных ходов. Ходы могут быть:

1. случайный ход - результат получаемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора.

2. сознательный ход - выбор игроком одно из возможных вариантов действия/стратегии и принятие решения об его осуществлении.

Возможные варианты/исходы игры сводятся в прямоугольную таблицу (платежная матрица) в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока «А», столбцы стратегиям игрока «Б». аij - цена игры. Цель теории игр выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации то есть выбор оптимальной стратегии для каждого из них.

Задача.

Конструктор получил задание разработать определенное новое изделие. В результате исследования он определил три возможных варианта изделия V1 V1 V3 каждый из которых может быть реализован каким-либо из трех тех процессов Т1 Т2 Т3. Если первый вариант конструкции В1 реализуется по первой технологии Т1 то внешний вид изделия оказывается наилучшим и оценивается экспертами в 9 баллов. При реализации по второй технологии 6 баллов, по третьей 5 баллов и т.д.

Конструкции	Технология
	Т1	Т2	Т3
V1	9	6	5
V2	8	7	7
V3	7	5	8
Bj=maxij	9	7	5

Для простоты полагаем что затраты пропорциональны внешнему виду. Чем выше бал, тем больше затраты. Конструктор должен представить только один вариант. Он понимает, что найдутся сторонники самого дешевого варианта, поэтому его задача выбрать оптимальный вариант по внешнему виду и стоимости.

C точки зрения конструктора преимущество имеет вариант V2 а так как даже при неблагоприятных обстоятельствах получится изделие оцениваемое в 7 баллов. Выигрыш 7, а может даже 8 если удастся уговорить экономистов. С точки зрения экономистов в смысле снижения затрат при выборе технологии Т1 в варианте V1 затраты наибольшие = 9баллов, при Т2 V2 баллов 7 баллов, при Т3V3 = 8 баллов. Для экономистов оптимальным является тех процесс Т2V2 так как он требует наименьших затрат при реализации вариантов конструкции. Стратегия Т2V2 с выигрышем 7 баллов наиболее выгодная сразу для обеих сторон. Вариант 7 баллов в котором максимин = минимаксу - седловая точка.

Конструкции	Технология
	Т1	Т2	Т3
V1	9	7	4
V2	5	3	3
V3	7	6	5
Bj=maxij	9	7	5
	4	3	5

Не все матрицы имеют седловую точку тогда решения находят применяя смешанные стратегии то есть чередуя случайным образом несколько чистых стратегий. (гибкая стратегия) если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию то его выигрыш равен цене игры вне зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок стратегии вошедшие в оптимальные.

Задача:

Двум осужденным необходимо принять независимое решение о взаимодействии со следствием. каждый из них знает условие.

	В сознается	В не сознается
А сознается	каждому по 8 лет
А не сознается		каждому по 5 лет