Непрерывность обратной функции

Пусть -- функция, непрерывная на отрезке . Предположим, что монотонна на ; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из следует, что . Тогда образом отрезка будет отрезок , где и (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между и значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к функция функция, действующая из в . Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция тоже была бы монотонно убывающей.)

Теорема 3.11 Пусть -- непрерывная монотонная функция, , . Тогда обратная к функция непрерывна на отрезке .

Доказательство. Во-первых, заметим, что если , , то .

Во-вторых, пусть ; рассмотрим функцию , которая определена при . Очевидно, что -- непрерывная на функция, поэтому она принимает наименьшее значение в некоторой точке :

Таким образом, если , то , то есть если , то . Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа найдётся число , такое что при выполняется неравенство . (При этом , , , .) Получили, что функция удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке ; тем самым доказано утверждение теоремы

18. Определение и существование степени с иррациональным показателем. Строгого определения степени с иррациональным показателем на школьном уровне дать нельзя. Для этого нужно хорошо понимать что такое предел последовательности, и как с ним работать. Но основываясь на интуитивном представлении о пределе можно сказать следующее. Пусть даны положительное число , и иррациональное число . Рассмотрим какую-нибудь последовательность рациональных чисел, стремящихся к (например, его десятичные приближения). Тогда предел последовательности (это уже рациональная степень числа ) будем называть -той степенью числа , и обозначать .

Четкое определение, что такое предел последовательности, почему существует предел , и почему он не зависит от выбора приближающей последовательности , будет рассказано в институте, в рамках курса математического анализа.

Пусть  – иррациональное число, a – положительное число. Определим a^, для чего рассмотрим три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

1. Если a = 1, то полагают 1^ = 1.

2. Пусть a > 1. Возьмем любое рациональное число r₁ <  и любое рациональное число r₂ > . Тогда r₁ < r₂ и . В этом случае под a^ понимают такое число, которое заключено между и для любых рациональных чисел r₁ и r₂, таких что r₁ <  и r₂ > . Можно доказать, что такое число существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального .

3. Пусть 0 < a < 1. Возьмем любое рациональное число r₁ <  и любое рациональное число r₂ > . Тогда r₁ < r₂ и . В этом случае под a^ понимают такое число, которое заключено между и для любых рациональных чисел r₂ и r₁, удовлетворяющих неравенству r₁ <  < r₂. Так как для любого рационального числа r, то из случая 2 следует, что число a^ существует и единственно для любого числа a из интервала (0; 1) и любого иррационального .