8. Односторонние пределы Точки разрыва и их классификация

Если и при этом , то говорят, что x стремится к слева, и записывают: . Предел называют левым пределом функции .

Если и при этом , то говорят, что x стремится к справа, и записывают: . Предел называют правым пределом функции .

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами. Для существования предела функции при x, стремящемся к , необходимо и достаточно, чтобы .

Точки разрыва и их классификация

Если в какой-либо точке функция не определена, либо и (или) , то точка называется точкой разрыва функции, а сама функция - разрывной в этой точке.

Если - точка разрыва функции , и существуют конечные пределы и , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Точки разрыва первого рода делятся на:

• точки устранимого разрыва, если ;

• точки скачка, если ;

Если хотя бы один из односторонних пределов не является конечным, то точка есть точка разрыва второго рода.

9. Бесконечно малые величины и их сравнение

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Сравнение бесконечно малых [править] Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α.

• Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β.

• Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

• Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

[Править] Примеры сравнения

• При величина имеет высший порядок малости относительно , так как . С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно , так как .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде .

• то есть при функции и являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи и

• При бесконечно малая величина имеет третий порядок малости относительно , поскольку , бесконечно малая — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.

10. Бесконечно большие величины

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .