Числовые промежутки

Решение неравенств обозначают на координатной прямой.

Пусть a - некоторое число. Часть координатной прямой левее точки a вместе с точкой a (черный (закрашенный) кружок)

Часть координатной прямой левее точки a, но не включая точку

Аналогично, если x находится правее

Обозначения числовых множеств на координатной прямой носят название: числовые промежутки.

2.Отображения (функции) и их свойства. (стр. 100 Письменный)Действительная функция действительного переменного. График функции. Способы задания функции. (стр. 101-102 Письменный)

3.Арифметические действия над функциями. Композиции функций.

Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством:

.

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся набор функций от одной или нескольких исходных переменных. Например функция вида

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

.

• Если — тождественное отображение на , то есть

,

то

.

• Если — тождественное отображение на , то есть

,

то

.

• Рассмотрим пространство всех биекций множества на себя и обозначим его . То есть если , то — биекция. Тогда композиция функций из является бинарной операцией, а — группой. является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу является — обратная функция.

  • Группа , вообще говоря, не коммутативна, то есть .

Дополнительные свойства

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть — топологические пространства. Пусть и две функции, . Тогда .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть . Тогда , и

4.Числовые последовательности. Подпоследовательности. Окрестности точек .

Пусть множество — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.. Подпоследовательность последовательности — это последовательность , где — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

• Для всякой подпоследовательности верно, что .

• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Окрестности точек. Окрестность точки. 1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности). 2. В n-мерном пространстве окрестность точки – любая область, содержащая данную точку. В частности совокупность точек М(х₁; х₂; …; х_n), координаты которых удовлетворяют неравенству , называется шаровой (сферической) δ-окрестностью точки А(а₁; а₂; …; а_n) – окрестностью радиуса δ. Иначе говоря, указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве (открытый) шар радиуса δ с центром в точке А. Множество точек М(х₁; х₂; …; х_n), координаты которых удовлетворяют системе неравенств называется параллелепипедальной окрестностью точки А(а1; а2; …; аn). Иначе: указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве параллелепипед с центром в точке А. 3. Окрестность точки А в метрическом пространстве – любая область, содержащая точку А. В частности все точки М, расстояние от которых до точки А меньше некоторого положительного числа δ, образуют ее (т.е. точки А) сферическую окрестность радиуса δ с центром в точке А.

Предельные точки множества. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКАмножества- точка, в любой окрестности к-рой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от нее самой. Рассматриваемые множества и точка предполагаются принадлежащими нек-рому топологич. пространству. Множество, содержащее все свои П. т., наз. замкнутым. Совокупность всех П. т. множества Мназ. производным множеством и обозначается М'. Если рассматриваемое топологич. пространство X удовлетворяет первой аксиоме отделимости (для любых двух его точек х и усуществует окрестность U(х), не содержащая точку у), то каждая окрестность П. т. нек-рого множества содержит бесконечно много точек этого множества и производное множество М' - замкнуто. Всякая прикосновения точка множества Мявляется либо его П. т., либо изолированной.

5.Понятие предела последовательности и функции. Постоянное число а называется пределомпоследовательности {x _n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа существует номер N, что все значения x _n,у которых n>N, удовлетворяют неравенству

x _n- a < . (6.1)

Записывают это следующим образом: или x _na.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- < x _n < a + , (6.2)

которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- , a+ ), т.е. попадают в какую угодно малую -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x _n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a- предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка aможет принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределомфункцииf(x) при x a, если для всякой последовательности {x _n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x _n )} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне,или “ на языке последовательностей”.

Определение 2 . Постоянное число А называется пределомфункцииf(x) приx a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число , можно найти такое >0 (зависящее от ), что для всех x, лежащих в -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < x-a < , значения функции f(x) будут лежать в -окрестности числа А, т.е. f(x)-A < .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке - “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x a имеет предел, равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x _n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения xк своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел,и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.