5) Ищутся асимптоты графика функции.

Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Образно выражаясь, график как бы прилипает к асимптоте. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая является вертикальной асимптотой. Например, в точке функция имеет разрыв второго рода. Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты . График функции имеет наклонную асимптоту при (соответственно при ), если существуют конечные пределы (соответственно ). При этом уравнение наклонной асимптоты . Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет. Если и существует конечный предел , то асимптота является горизонтальной и её уравнение .

6) Находятся критические точки и интервалы монотонности.

Функция имеет максимум в точке , если её значение в этой точке больше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку . Функция имеет минимум в точке , если её значение в этой точке меньше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку . Для определения критических точек находим производную по соответствующим правилам и используя таблицу производных. В критических точках производная равна нулю или не существует. Определяем знак производной в интервалах между критическими точками. Если на некотором интервале производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то на данном интервале функция убывает.

7) Ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости.

Для определения точек перегиба находят вторую производную. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. По знаку второй производной в интервалах между точками перегиба определяют направление выпуклости графика функции. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз. Если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх.