, То либо минимум, либо максимум, либо они оба
Достигаются во внутренней точке по теореме Ферма
ч.т.д.
Теорема Лагранжа:
Пусть - гладкая функция
на отрезке , тогда
такая,
что
.
|
Можно задать вопрос: “А есть ли прямая, параллельная этой хорде?”
Есть,
конечно!
Производная – угловой
коэффициент касательной
|
.
Доказательство:
такая,
что
ч.т.д.
Следствие теоремы Ролля:
Если
,
то
монотонно возрастает.
Доказательство:
пусть
,
где
.
монотонно возрастает.
Обратное
утверждение к теореме
Ферма
неверно, т.к. может быть перегиб.
Пример:
35.Применение теоремы Лагранжа к исследованию функции на монотонность.
36. Теорема Коши. Раскрытие неопределенностей.
Теорема.Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует
xО(a,b): gў(x) (f (b) - f (a)) = fў(x) (g (b) - g (a)).
Доказательство.Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = g (x) (f (b)- f (a)) - f (x) (g (b) - g (a)).
Для этой функции
F (a) = g (a) (f (b) - f (a)) - f (a) (g (b) - g (a)) = g (a) f (b) - f (a) g (b),
F (b) = g (b) (f (b) - f (a)) - f (b) (g (b) - g (a)) = - f (a) g (b) +g (a) f (b),
таким образом, F (a) =F (b) и к ней применима теорема Ролля:существует точка xО(a,b) для которой выполняется равенство
0=F (b) - F (a) =Fў(x) (b-a) = [gў(x) (f (b) - f (a)) - fў(x) (g (b) - g (a))] (b-a).
Следствие.Если gў(x) №0на (a,b), то
.
Доказательство.Если gў(x) №0,то g (b) - g (a) №0.Иначе, в случаеg (b) =g (a), по теореме Ролля нашлась бы точка x,где gў(x) =0.
Теорема Коши
Рассмотрим,наконец, третью теорему о среднем,принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.
Теорема.Если
функции
и
непрерывны
на отрезке
и
дифференцируемы во всех его внутренних
точках, причем
не
обращается в ноль ни в одной из указанных
точек, то существует,по крайней мере,
одна точка
,в
которой
.
Доказательство.Так
как
во
всех точках
,то
отсюда следует,что
.В
противном случае, как следует из теоремы
Ролля,существовала хотя бы одна точка
,в
которой
.
Составим вспомогательную функцию
.
Данная
функция непрерывна на отрезке
и
дифференцируема во всех его внутренних
точках. Кроме того, вычисление ее в
точках
и
дает:
.Значит,
функция
удовлетворяет
требованиям теоремы Ролля,то есть
существует хотя бы одна точка
,в
которой
.
Вычислим производную :
.
Из условия следует, что
и
,
что и требовалось доказать.
В
случае,когда
,теорема
Коши переходит в формулировку теоремы
Лагранжа.
Раскрытие неопределенностей |
|
|
|
Если
функции F(X)
И
G(X)
удовлетворяют на некотором отрезке
[Ab]
условиям теоремы Коши и F(A)
= G(A) = 0,
то отношение F(X)/G(X)
Не
определено при Х=а,
но определено при остальных значениях
Х.
Поэтому можно поставить задачу
вычисления предела этого отношения
при
Теорема 3 (правило Лопиталя). Пусть функции F(X) и G(X) Удовлетворяют на отрезке [Ab] условиям теоремы Коши и F(A)=G(A)=0. Тогда, если существует
То существует и
Причем
Доказательство. Выберем
Из теоремы Коши следует, что
По условию теоремы F(A)=G(A)=0, поэтому
При
То существует и
Поэтому
Теорема доказана. Пример. При A > 0
Замечание 1. Если F(X) Или G(X) Не определены при Х=а, можно доопределить их в этой точке значениями F(A)=G(A)=0. Тогда обе функции будут непрерывными в точке А, и к этому случаю можно применить теорему 3.
Замечание
2.
Если F’(A)=G’(A)=0
и F’(X)
И
G’(X)
Удовлетворяют
условиям, наложенным в теореме 3 на
F(X)
И
G(X),
к отношению
И так далее. Пример.
Правило
Лопиталя можно применять и для раскрытия
неопределенностей вида
Теорема
4.
Пусть функции F(X)
и G(X)
непрерывны и дифференцируемы при
И существует
То существует и
Причем
Доказательство. Выберем в рассматриваемой окрестности точки А Точки A и Х Так, чтобы A < X < A (или A < X < A). Тогда по теореме Коши существует точка С (A < C < X) такая, что
Так как
Получаем:
Так как
Можно для любого малого E выбрать A настолько близким к А, что для любого С будет выполняться неравенство
Для этого же значения ε из условия теоремы следует, что
Поэтому
Перемножим два полученных неравенства:
Или
Поскольку E – произвольно малое число, отсюда следует, что
Что и требовалось доказать.
Замечание
1.
Теорема 4 верна и при А=
Тогда и
Следовательно,
Замечание
2.
Теоремы 3 и 4 можно доказать и для
случая, когда
Пример.
|
Вычисление
таких пределов называют обычно
«раскрытием неопределенностей вида
{0/0}».
.
При этом, если существует
можно
еще раз применить правило Лопиталя:
,
то есть для вычисления предела отношения
двух функций, стремящихся к бесконечности
при
в
окрестности точки А,
причем
в
этой окрестности. Тогда, если
.
.
В этом случае
.
37.
38.