29 Параметрическое задание функции. Дифференцирование функции заданной параметрическим способом.

Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида: , Производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x). Находим производные: Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются Критическими. Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции. Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке. Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности. В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно. На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время. Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром: . В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций. Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x^-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции). Тогда y(x)=ψ(t(x)) – сложная функция и ее производная: . Производную тоже запишем в параметрической форме:

Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически: Решение. .

30. Дифференциал и его связь с производной. Геометрический и механический смысл дифференциала.

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции - это произведение производной f ’( x₀ ) и приращения аргумента :

df = f ’( x₀ ) · .

Геометрический смысл дифференциала ясен из рис.2: здесь df = CD

Геометрический и механический смысл дифференциала

На графике функции рассмотрим две точки и (рис.3). Пусть – касательная к графику в точке , – угол ее наклона к оси . Тогда, , .

рис.3

Вывод: дифференциал – это приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента . Из чертежа видно, что на малом отрезке , график функции и график касательной близки друг к другу, а значит график функции можно заменить на отрезок касательной. Это значит, что функция заменяется линейной функцией (уравнением касательной), что называется линеаризацией функции. ^ Механический смысл дифференциала. Пусть точка движется прямолинейно по закону , а – путь, пройденный точкой за время . Тогда дифференциал – это путь, пройденный точкой за время , если предположить, что движение равномерное, то есть на промежутке .

31. в книге стр.2

32.в книге стр.3

33. в книге стр.4

34.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

Теорема Ферма:

производная гладкой функции в точках локального максимума

и локального минимума равна нулю. Точка

называется точкой локального максимума, если существует такое, что значение функции в окрестности меньше, чем в точке . Точка называется точкой локального минимума, если

существует такое, что значение функции в окрестности больше, чем в точке . Гладкая функция – всюду дифференцируемая

функция, т.е. непрерывная и имеющая производную во всех точках определения ( ее

можно погладить, не поранив руки). Пример негладкой функции . Доказательство: по определению пусть . С одной

стороны, предел неположителен, с другой - предел

неотрицателен

единственное число, которое может примирить левую и правую части . .

Теорема Ролля:

Пусть - гладкая функция на

отрезке и , тогда

такая, что . Доказательство: т.к. функция гладкая, то она

непрерывна. Непрерывная функция достигает своего наибольшего и наименьшего

значения.