Правила дифференцирования

Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем

Доказательство

а) По свойству предела суммы получаем Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: В частности, б) Функцию f · g можно записать в виде Но По свойству предела произведения получаем Используя доказанное равенство, получим, что Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим формулу в) Для доказательства этой формулы заметим, что Воспользовавшись свойством предела частного, получим После этого представим как произведение функций f и откуда и следует доказываемая формула.

Если f дифференцируема, то где также дифференцируема, причем

Доказательство этой формулы предоставляем читателю.

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки причем то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y₀ = f (x₀), причем

Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x₀ и y₀ = f (x₀) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x₀, причем

Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

Если f (x) – четная функция, то – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то – четная.

Пусть в окрестности точки t₀ определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные и Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем

ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и V(X) дифференцируемы в точке х0, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии V(X) ≠ 0) также дифференци­руемы в этой точке, причем справедливы следующие форму­лы:

26. Производная степенной, показательной и логарифмической функции.

В предыдущих параграфах мы уже рассматривали некоторые примеры на нахождение производной от степенной функции у = хⁿ при натуральном п. Так, например, мы доказали, что (х)' = 1, (x²)' = 2х. Используя теорему о производной произведения двух функций, легко получить производные и любых других натуральных степеней х. Например,

(x³)' = (x² • х)' = (x²)' • х + x² • (х)' = 2х • х + x² • 1 = 3x²;

(x⁴)' = (x³ • х)' = (x³)' • х + x³ • (х)' = 3x² • х + x³ • 1 = 4x³;

(x⁵)'= (x⁴ • х)' = (x⁴)' • х + x⁴ • (х)' = 4x³ • х + x⁴ • 1 = 5x⁴

и т. д. Нетрудно подметить общее правило для нахождения производной от функции у = хⁿ при любом натуральном п.

Чтобы найти производную функции у = хⁿ, нужно показатель п взять коэффициентом., а у самого х показатель понизить на единицу, то есть

(хⁿ)' = пх^n—1. (1)

Например,

(x¹⁰)'= 10x⁹, (x⁴⁵)'= 45x⁴⁴

Рассуждения, которые мы проводили здесь в подтверждение справедливости формулы (1), являются лишь наводящими; за строгое доказательство этой формулы их принять, конечно, нельзя. К формуле (1) мы еще вернемся в § 262 где и дадим ее строгое доказательство.

Полученное нами правило нахождения производной от степенной функции верно не только для натуральных, но и для любых показателей, то есть для любого действительного числа α

(х^α)' = αх^α—1 (х > 0).

Доказательство этой формулы выходит за пределы школьной программы и поэтому здесь не приводится.

Примеры:

1) Пусть у = ¹/_x. Тогда

у' = (¹/_x)' = (х^—1) = — 1 • х^—1—1 = — х^—2 = — 1/х² ( x =/= 0).

2) Пусть у = √x. Тогда

у' = ( √x )' = ( x ^½ )' = ¹/₂ x ^{½ —1} = ¹/₂ x ^{— ½} = ¹/_2√x ( x > 0)

3) При у = ¹/_√x

у' = ( ¹/_√x )' = ( x ^—½ )' = —¹/₂ x ^{—½ —1} = —¹/₂ x ^{— 3/2} = — ¹/_2x√x ( x > 0)