23. Дифференцируемость и производная. Скорость.

Дифференцируемая функция

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление

при

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Производная

При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M₀(x, y). Если аргументу x дать приращение x, то новому значению аргумента x + x соответствует новое значение функции y+y = f(x + x). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M₁(x + x, y + y). Если провести секущую M₀M₁ и обозначить через  угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь x стремится к нулю, то точка M₁ перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M₀, и угол  изменяется с изменением x. При x  0 угол  стремится к некоторому пределу  и прямая, проходящая через точку M₀ и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол , будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

.

Следовательно, f´(x) = tg

т.е. значение производной f´(x) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке M₀(x,y) с положительным направлением оси Ox.

Скорость изменения функции

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

24. Значение слова Касательная по Ефремовой: Касательная - Прямая линия, имеющая с кривой одну общую точку, но не пересекающая ее (в математике). Касательная в Энциклопедическом словаре: Касательная - прямая к кривой L в точке M - предельное положение (на рисункеMT), к которому стремится секущая ММ? при приближении точки М? к точке М.

25. Правила вычисления производных

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x² + (2x + 3) · e^x · sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.