22. Обратные тригонометрические функции
|
|
График 2.3.4.1. График функции y = arcsin x. |
|
|
|
График 2.3.4.2. График функции y = arccos x. |
Арксинусом
x
называют такое число
,
что sin t
= x.
Из определения следует, что
|
При помощи арксинуса решение уравнения sin x = t записывается следующим образом:
|
или
t
= (–1)n
arcsin x
+ πn,
Функция
y =
arcsin x
определена и непрерывна на отрезке [–1;
1]. Ее областью значений является отрезок
Она
обратна функции y
= sin x,
рассматриваемой на отрезке
и
поэтому монотонно возрастает. Функция
y =
arcsin x
является нечетной.
Арккосинусом x называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что cos t = x. Из определения следует, что
|
При помощи арккосинуса решение уравнения cos x = t записывается следующим образом:
t = ±arccos x + 2πn, |
Функция y = arccos x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок [0; π]. Она обратна функции y = cos x, рассматриваемой на отрезке [0; π], и поэтому монотонно убывает на области определения. Функция y = arccos x не является ни четной, ни нечетной.
Арктангенсом x называют такое число , что tg t = x. При помощи арктангенса решение уравнения tg x = t записывается следующим образом:
t = arctg x + πn, |
Функция y = arctg x является нечетной.
|
|
График 2.3.4.3. График функции y = arctg x. |
|
|
|
График 2.3.4.4. График функции y = arcctg x. |
Арккотангенсом x называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что ctg t = x. При помощи арккотангенса решение уравнения ctg x = t записывается следующим образом:
t = arcctg x + πn, |
Функция y = arcctg x не является ни четной, ни нечетной.
Функции
y =
arctg x
и y
= arcctg x
определены и непрерывны на всей числовой
оси. Их областями значений являются,
соответственно, интервалы
и
(0; π). Арктангенс монотонно возрастает,
а арккотангенс монотонно убывает на
всей области определения. Функциями,
обратными к данным, являются соответственно
tg x
на
и
ctg x
на (0; π).
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
аркси́нус (обозначение: arcsin)
аркко́синус (обозначение: arccos)
аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)
арксе́канс (обозначение: arcsec)
арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)
Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin−1 для арксинуса и т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.