Типовые задачи

1. Записать комплексные значения амплитуд напряжения и тока:

Решение:

; .

2. Элементы R, L и С включены последовательно, =10² рад/с, R=10 Ом, L=0,1 Гн, С=5·10^-4 Ф. Определить полное комплексное сопротивление цепи.

Решение:

.

3. Комплексное значение амплитуд напряжения и тока равны

, . Определить их мгновенные значения.

Решение:

, .

4. Комплексная амплитуда тока равна .

Найти мгновенное значение тока.

Решение:

Амплитуда тока

.

Начальная фаза тока

.

Комплексная амплитуда тока в показательной форме

А.

Искомый синусоидальный ток

А.

Символ обозначает коэффициент при мнимой части.

5. Комплексные значения амплитудного напряжения и тока равны А, В. Определить модули их действующих значений и их мгновенные значения.

Решение:

Комплексы амплитуд в показательной форме

А, В.

Комплексы действующих значений

А, В.

Модули действующих значений

А, В.

Мгновенные значения

А, В.

6. В цепи с параллельным соединением приемников (рис. 2) напряжение на входе цепи равно В, Ом, Гн, Ф. Определить токи во всех ветвях цепи. Построить векторную диаграмму токов.

Решение:

Рис. 2. Цепь с параллельным соединением приемников.

Рис. 3. Цепь с параллельным соединением приемников в комплексном виде.

Определим комплексные сопротивления цепи (согласно рис. 3) учитывая, что Ом, Ом, Ом, , где - модули индуктивного и емкостного сопротивлений соответственно.

А,

А,

А.

Мгновенные значения токов

А, А, А.

Векторная диаграмма токов изображена на рис. 4.

Рис. 4. Векторная диаграмма токов

Напомним, что векторы могут быть изображены, пользуясь показательной формой записи комплексных величин, причем модуль комплекса откладывается от оси вещественных значений под углом, равным начальной фазе. Положительный угол откладывается против часовой стрелки, а отрицательный по ее направлению.

7. В цепь переменного тока (рис. 5) включены мГн, Ом, мкФ. Входное напряжение В, рад/с. Определить ток, напряжение и мощности всех участков цепи. Построить топографическую диаграмму напряжений.

Рис. 5 Цепь переменного тока

Решение:

Комплекс полного сопротивления цепи

Комплекс действующего значения входного напряжения, учитывая, что

Комплекс тока определяем по закону Ома

А.

Комплексы напряжения на участках цепи

В,

В,

В.

Мощности участков цепи

ВА.

С другой стороны

Вт.

Поскольку на активном сопротивлении может выделяться только активная мощность, то

ВА.

Аналогично

ВА,

ВА,

вар,

ВА,

вар.

Комплекс полной мощности цепи

ВА.

Можно обратить внимание на то, что

• Аргументы при Z и совпадают;

• Значение P, полученное через R и полученное через совпадают;

• Значения Q, полученные через и , совпадают со значением Q, полученными через .

Отсюда следует, что активная мощность может выделяться только на активном сопротивлении, а реактивная – только на реактивных сопротивлениях, причем на индуктивности L со знаком плюс, а на емкости С со знаком минус.

Топографическая диаграмма напряжений представлена на рис. 6. Для построения топографической диаграммы примем потенциал точки г за ноль. Тогда потенциал точки а равен , В. Потенциал точки б равен:

, В.

Потенциал точки в равен:

В.

Для проверки должен быть равен нулю:

В.

Рис. 6 Топографическая диаграмма напряжений

Мгновенные значения тока и напряжений

А,

В,

В,

В.

8. Определить токи, напряжения и мощности всех участков цепи (рис. 7).

Рис. 7 Цепь переменного тока

Построить векторную диаграмму, если В;

R₁=2 Ом, Х₁=2 Ом, Х₂=8 Ом, R₃=8 Ом, Х₃=8 Ом.

Решение:

Решение методом преобразования. Заменим две параллельные ветви одной эквивалентной:

Ом,

Ом.

Из полученной схемы с последовательным соединением элементов (рис. 8) определим ток .

Рис. 8 Цепь переменного тока при замене ветвей 2 и 3 на ветвь 23 с эквивалентным сопротивлением

.

Комплекс напряжения определим из мгновенного значения, данного в условии, В. Подставляя значение , получаем

А.

Токи в параллельных ветвях схемы, изображенной на рис. 7,

А,

А.

Напряжения на участках цепи

В,

В.

Мощности участков цепи

ВА,

ВА,

ВА,

ВА.

Баланс мощности

ВА.

Векторная диаграмма цепи построена на рис. 9 по уравнениям

, .

Рис. 9 Векторная диаграмма

9. Определить мгновенные и действующие значения напряжений и токов всех участков цепи (рис. 10). Построить топографическую диаграмму напряжений, совместив её с векторной диаграммой токов, если Z₁=j5 Ом, Z₂=j8 Ом, Z₃=-j8 Ом, Z₄=6 Ом, Z₅=6 Ом, В.

Рис. 10 Цепь переменного тока

Решение:

Комплекс напряжения запишем по заданному мгновенному значению

В,

В.

Зададимся направлениями токов, как показано на схеме (рис. 10) и составим уравнение по второму закону Кирхгофа

,

.

Из этих уравнений найдем токи и :

;

;

А;

А.

Общий ток

А.

Напряжения на участках цепи:

В;

В;

В;

В;

В;

В.

Мгновенные значения токов и напряжений:

А;

А;

А;

В;

В;

В;

В;

В;

В.

Для построения топографической (потенциальной) диаграммы необходимо определить комплексные потенциалы всех точек цепи. Примем потенциал точки в (рис. 10) равным нулю, , тогда потенциалы всех остальных точек будут равны:

В;

В;

В;

В;

Потенциальная диаграмма построена на рис. 11. С ее помощью можно определить напряжение между соответствующими точками схемы (рис. 10).

Рис. 11 Потенциальная диаграмма

10. Решить задачу 9, если Z₁=j5 Ом, Z₂=j8 Ом, Z₃= -j8 Ом, Z₄=6 Ом, Z₅=6 Ом, Q₂=20 квар.

Указание: при условии отсутствия данных о начальных фазах напряжений и токов, начальную фазу любого напряжения или тока можно принять равную нулю. Определив модуль тока и приняв начальную фазу этого тока , получим комплекс . Зная комплекс тока , можно определить все остальные величины.

Ответ: I₂=50 А, I₃=50 А, I₁=60 А, U=585 В.

11. По индуктивной ЛЭП с сопротивлениями R_л=0,6 Ом и X_л=0,8 Ом питается приемник мощностью Р₂=4,8 кВт с коэффициентом мощности (рис. 12). Напряжение в начале линии В. Определить падение и потерю напряжения в линии. Построить векторную диаграмму.

Рис. 12 Схема замещения

Решение:

Мощность приемника можно выразить через

.

Ток в линии определяется из выражения:

Решая предыдущие уравнения относительно тока I найдем два значения тока, при которых в данном примере возможна передача мощности

А и А.

Двум значениям тока соответствует два значения падения напряжения

,

,

и два значения потери напряжения в линии

В,

В.

Равенство падения и потери напряжения объясняется равенством . Векторная диаграмма представлена на рис. 13.

Рис. 13 Векторная диаграмма

12. По условиям предыдущей задачи определить емкостное сопротивление конденсатора, последовательно включенного в линию для полной компенсации потери напряжений в ней (рис. 14)

Рис. 14 Схема замещения

Решение:

Условие полной компенсации потери напряжения в линии может быть записано в виде

;

или

Откуда

,

где:

По данным предыдущей задачи определяем R₂; Х₂; Z₂(выбираем режим работы линии, соответствующей току ).

Имеем , откуда

.

Подставляя численные значения величин, получим

,

Ом,

Ом.

Векторная диаграмма компенсированной линии построена на рис. 15.

Рис. 15 Векторная диаграмма компенсированной линии

13. Определить токи и напряжения всех участков цепи (рис. 16).

Рис. 16 Цепь переменного тока.

Построить топографическую диаграмму напряжений, совместив ее с векторной диаграммой токов. В, Ом, Ом, Ом, .

Решение:

Для определения недостающих сопротивлений используем условие .

,

Отсюда

.

Подставляя численные значения и приравнивая вещественные и мнимые части, получим два уравнения:

;

.

Решая систему уравнений, находим Х₃=8 Ом, Х₁=10 Ом. Зная параметры цепи, легко найти токи и напряжения всех участков.

Ответ: А; А; А.

Топографическая диаграмма построена на рис. 17.

Рис. 17 Топографическая диаграмма.

14. Определить сопротивление Х₃ цепи (рис.18), если сумма действующих значений напряжений и равна действующему значению входного напряжения и Ом.

Рис. 18 цепь переменного тока.

Решение:

Выразим комплексы напряжений и через комплекс напряжения :

;

Модули этих напряжений будут равны

,

.

Согласно условию задачи

,

откуда Х₃=4 Ом.

15. Определить сопротивление R₃ в схеме, изображенной на рис. 18, если ; Ом.

Ответ: R₃=8 Ом.

16. При каком значении сопротивления Х₂ режим работы схемы (рис.18) не изменится при коротком замыкании между точками aб, если R₁=X₁= X₃=10 Ом, R₃=5 Ом? Чему будет равен ток I₃ при напряжении U=240 В?

Указание: по условию задачи или . Учитывая, что , получим или .

Ответ: X₂=10 Ом, I₃=16 А.

17. При какой величине индуктивного сопротивления в схеме (рис. 19) имеет место резонанс напряжений, если R₁=R₂=10 Ом; Х_С=4 Ом?

Рис. 19

Решение:

При резонансе напряжений мнимая часть полного сопротивления цепи равна нулю

, .

Отсюда следует, что резонанс напряжений возможен при двух значениях индуктивного сопротивления.

Ответ. Ом, Ом.

Замечание. Резонанс напряжений в указанной цепи не может быть получен ни при каком значении X_L , если

.

18. При какой величине индуктивного сопротивления в схеме (рис. 20) имеет место резонанс токов, если Х_с= 20 Ом, R= 8 Ом?

Рис. 20 Схема цепи переменного тока.

Решение:

При резонансе токов мнимая часть комплекса полной проводимости цепи равна нулю

,

,

откуда

.

Резонанс токов в указанной цепи возможен при двух значениях индуктивного сопротивления, если >R, при одном значении X_L, если и невозможен при любом Х_L в случае Х_с< 2R.

Ответ. Ом; Ом.

19. Определить резонансные частоты , при которой в цепи (рис. 21) наблюдается резонанс токов, и , при которой в данной цепи имеет место резонанс напряжений. L₂=0,1 Гн, R₂=60 Ом, С₁= С₃=10 мкФ.

Рис. 21 Цепь переменного тока.

Указание: при резонансе токов мнимая часть комплекса полной проводимости параллельных ветвей должна быть равна нулю

.

При резонансе напряжений мнимая часть комплекса полного сопротивления должна быть равна нулю

.

Ответ. рад/сек; рад/сек.

20. При какой величине проводимости g₁ в схеме (рис. 22) имеет место резонанс токов, если См? Построить векторную диаграмму при I_o= 12 А.

Рис. 22 цепь переменного тока

Решение:

Воспользуемся методом аналогии. Схема, приведенная на рис. 22, дуальна схеме, изображенной на рис. 18, поэтому резонанс токов в рассматриваемой цепи не зависит от g₁. Векторная диаграмма цепи при I_о= 12 А и g₁=1.6 См построена на рис. 23.

Рис. 23 Векторная диаграмма цепи.

Рекомендуется проверить полученный результат, приравняв к нулю мнимую часть комплекса полной проводимости всей цепи.

21. При каком значении R₁ в схеме (рис. 18) возникает резонанс напряжений ( ), если Ом? Построить векторную диаграмму при U= 120В.

Решение:

При резонансе напряжений мнимая часть комплекса полного сопротивления всей цепи должна быть равна нулю. Комплекс полного сопротивления цепи

.

Подставляя численные значения заданных величин, получим

.

Отсюда видно, что мнимая часть Z_Э равна нулю при любых значениях сопротивления R₁, отличных от нуля.

Векторная диаграмма при U=120 В и R₁=16 Ом построена на рис. 24.

Рис. 24 Векторная диаграмма

22. При каком соотношении параметров цепи (рис. 25) обмен энергией между катушкой и конденсатором отсутствует?

Рис. 25 Цепь переменного тока

Решение:

Из выражений для энергий магнитного и электрического полей:

;

следует, что катушка и конденсатор не будут обмениваться энергией при условии .

При начальная фаза напряжения на конденсаторе должна быть равна нулю . Комплекс можно вычислить следующим образом:

; ; ;

.

Приравнивая мнимую часть этого комплекса к нулю, получим искомое соотношение между параметрами . Очевидно, что это равенство справедливо при любой частоте.

23. Определить токи в цепи (рис. 26), если В, Ом, Ом, Ом. Построить векторную диаграмму и составить баланс мощностей.

Рис. 26 Цепь с магнитной связью.

Решение:

Обходя контуры по часовой стрелке, составим уравнения по второму закону Кирхгофа

Исключая ток и подставляя численные значения величин, получим:

, .

Откуда

и А.

Векторная диаграмма цепи, построенная по уравнениям и показана на рис. 27.

Рис. 27 Векторная диаграмма.

Для первого контура уравнения баланса мощностей получим, умножив уравнение на сопряженный комплекс тока ,

или

.

Для второго контура

или

.

В полученных уравнениях - соответственно активная и реактивная мощность источника, и - соответственно активные и реактивные мощности первого и второго ( ) контуров, и - активные мощности взаимоиндукции, и - реактивные мощности взаимоиндукции.

Подставляя численные значения величин, найдем

Вт, Вт,

вар, вар,

Вт, Вт, вар,

вар, Вт, вар.

Следует обратить внимание на то, что в данном случае первая катушка передает энергию второй (P_M1>0 , а Р_М2 <О). Складывая уравнения балансов мощностей контуров и учитывая, что , а , получим уравнения баланса мощностей всей цепи.

или

1728 = 1152 + 576 (Вт),

1728 = 2304 + 576 – 2·576 (вар).

24. В цепи (рис. 26) исключить индуктивную связь.

Решение:

Преобразуем уравнения цепи

,

,

прибавим к обеим частям первого , а к обеим частям второго . Тогда

,

.

Этим уравнениям соответствует электрическая цепь без индуктивной связи (рис. 28).

Рис. 28 Цепь без индуктивной связи

Замечание: при расчете цепей с индуктивной связью часто используются преобразования схем, показанные на рис. 29.

Рис. 29 Виды преобразований схем содержащих индуктивную связь.

Эти преобразования являются графическим представлением произведенного выше преобразования и их рекомендуется запомнить.

25. Рассчитать цепь (рис. 30). Построить векторную диаграмму. Ом, Ом, В, Вт.

Рис. 30 Цепь с магнитной связью.

Решение:

Уравнения цепи при принятых направлениях токов

,

.

Решая эти уравнения относительно токов, получим

,

.

По условию задачи - вещественное число и . Следовательно . Приравнивая к нулю вещественную часть комплекса тока , найдем :

;

;

Ом; Ом.

Как известно, . Поэтому первое значение Ом следует отбросить. Зная , можно определить токи и напряжения на всех участках цепи:

А;

А.

Векторная диаграмма, построенная по исходным уравнениям цепи, показана на рис. 31.

Рис. 31 Векторная диаграмма